极正弦是-三维平行四边形或单纯形。如果平行线是以及在顶点相交的平行四边形的边是,, ...,,则该顶点的极正弦值为
将平行四边形边缘的长度改变一个因子,将改变内容同样的因素。因此边长不影响右侧的值和极正弦功能仅取决于平行四边形边缘之间的角度,不是长度。平行四边形所有顶点角的极正弦是相同的,因为定义的右侧不依赖于已选择顶点。如果我们在一个顶点上延伸面由此形成的顶点角具有与它们相同的极正弦是平行四边形顶点角度的简单平移。
如果球体位于-尺寸角角射线与球体相交于点的顶点-对向角度的尺寸球面单纯形。我们将球面单纯形的极正弦定义为角度的极正弦它会转手。对于-维度的球面单纯形,如果顶点之间的边和有长度,其极性正弦在空间中的值高斯曲率 由提供
让一个-维度的球面单纯形位于有中心的球面上,并构造其极单纯形。然后-尺寸角由来自通过极单纯形的顶点有一个正弦值这等于原始单纯形的极正弦值。
极性正弦的极限-作为曲率的维球面单纯形接近零的空间是,其中是具有相同边的欧氏单纯形的内容长度。
此条目由贡献罗伯特A.罗素
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罗伯特·A·罗素。“极正弦”。来自数学世界--Wolfram Web资源,创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/PolarSine.html