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平面空间

让（xi_1，xi_2）成为当地人欧几里得的坐标系。然后

ds^2=dxi_1^2+dxi_2^2。
（1）

现在接通电源

dxi_1=（部分xi_1）/（部分x_1）dx_1+（部分xi_2）/（局部x_2）dx_2
(2)
dxi_2=（部分xi_2）/（部分x_1）dx_1+（部分xi_2/（部分x2）dx2
(3)

以获得

数字^2=[（（partialxi_1）/（partialx_1））^2+（（partialxi_2）/（partialx_1））^2]dx_1^2+[（partialxi_1）/（partialx_1）（partialxi_1）/（partialx_2）+（partialxi_2）/（partialx_1）（partialxi_2）/（partialx_2）]dx_1dx_2+[（（partialxi_1）/（partialx_2））^2+（（partialxi_2）/（partialx_2））^2]dx_2^2。
(4)

读取系数从

ds^2=g（11）dx_1^2+2g（12）dx_1dx_2+g（22）dx_2^2
（5）

给予

g（11）=（（部分xi_1）/（部分x_1））^2+（
(6)
g_（12）=（partialxi_1）/（partial x_1）
(7)
克（22）=（（partialxi_1）/（partial x_2））^2+（（partalxi_2）/（Partialx2））^2。
(8)

更改坐标（x_1，x_2）->（x_1^'，x_2^'）给予

g_（11）^'=（（partialxi_1）/（partial x_1^'））^2+（（parcialxi_2）/（partialx_1^’））^2
(9)
=（（partialxi_1）/（partial x_1）（partial/x_1^'）/（partialx_1^’）+（partial-xi_1
(10)
=g_（11）（（部分x_1）/（部分x_1^'））^2+2g_（12）
(11)
g_（12）^'=（partialxi_1）/（partial x_1）（partial/x_1^’）
(12)
=g_（12）（部分x_1）/（部分x_1^'）（部分x2）/
(13)
g_（22）^'=g_（11）（（部分x_1）/（部分x_1^'））^2+2g_（12）。
(14)

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“平面空间”。来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PlanarSpace.html

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