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过阻尼简谐运动

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SHO过度阻尼

过阻尼简谐运动是受潮的简谐运动

x^+贝塔克斯^+ω_0^2x=0，
（1）

在哪儿

β^2-4omega_0^2>0。
（2）

因此

D=β^2-4omega_0^2>0。
(3)
x_1=e ^（r-t）
(4)
x2个=e ^（r+t），
(5)

哪里

r+/-=1/2（β+/-平方（β2-4omega_0^2））。
(6)

因此，一般的解决方案是

x=Ae^（r_-t）+Be^（r_+t），
(7)

哪里A类和B类是常量。初始值为

x（0）=A+B类
(8)
x ^。(0)=Ar_-+Br_+，
(9)

所以

A类=x（0）-（r-x（0。（0）/（r_--r_+）
(10)
B类=（r_-x（0）-x^）。（0）/（r_--r_+）。
(11)

上图显示了一个具有过阻尼的简谐振荡器Ω=0.3,β=0.075和三种不同的初始条件（A、B）.

具有强迫函数的余弦受迫过阻尼振子g（t）=Ccos（ω）即。，

x^+贝塔克斯^+ω_0^2x=Ccos（ω），
(12)

一般解决方案是

x_1（t）=e ^（r_1t）
(13)
x2（吨）=e^（r_2t），
(14)

哪里

第1段=1/2（-β+平方英尺（β^2-4ω_0^2））
(15)
第2段=1/2（-β-sqrt（β^2-4ω_0^2））。
（16）

这些给出了身份

r1+r2=-β
(17)
r1至r2=平方米（beta^2-4omega_0^2）
(18)

和

欧米茄0^2=1/4[β-（r1-r2）^2]
(19)
=r_1r_2。
(20)

我们现在可以使用参数的变化以获得特定的解决方案

x^*=x_1v_1+x_2v_2，
(21)

哪里

第1版=-int（x_1（t）g（t））/（W（t）
(22)
第2版=int（x_2（t）g（t））/（W（t）
(23)

和Wronskian公司是

W（吨）=x_1x^_2-x^_1×2
(24)
=（r2-r1）e ^（（r1+r2）t）。
(25)

这些可以直接集成以提供

第1版=-C/（r_2-r_1）（ω-ω）/（e^（r~2t）（r_2^2+ω^2））
（26）
第2版=C/（r_2-r_1）（ω-ω）/（e^（r_1t）（r_2^2+ω^2））。
(27)

集成、插入和简化后

x ^*（吨）=C（cos（ω）（r1r_2-omega^2）-sin（ω
(28)
=C/（平方（β^2omega^2+（ω^2-omega_0^2）^2））cos（ω+δ），
(29)

已使用谐波加法定理和

δ=tan^（-1）（（betaomega）/（omega^2-omega_0^2））。
（30）

另请参见

临界阻尼简谐运动,阻尼简谐运动,简单谐波运动,欠阻尼简谐运动

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工具书类

A.帕普利斯。概率、随机变量和随机过程，第2版。纽约：McGraw-Hill，第527-528页，1984年。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“过阻尼简谐运动。“来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/OversdampedSimpleHarmonicMotion.html

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