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正交坐标系


正交坐标系是曲线坐标其中每个曲面族相交其他人成直角。因此,正交坐标满足额外的约束

 u_i^^·u_j^^=增量(ij),
(1)

哪里增量(ij)克罗内克三角洲因此线要素成为

数字^2=博士·博士
(2)
=h1^2du_1^2+h2^2du_2^2+h3^2du_3^2
(3)

体积元素成为

数字电压=|(h1u_1^^du_1)·(h2u_2^du_2)x(h3u_3^du_3)|
(4)
=h1h2h3du1du2du3
(5)
=|(partialr)/(partialu_1)·(partial)/(partialu_2)x(partiall)/(patialu_3)|du_1du_2du_3
(6)
=|(partialx)/(partialu_1);(partialy)/(partial_1)(partialy/(partalu_2)(partaly)/(partialu_3);(partialz)/(partialu_1)
(7)
=|(部分(x,y,z))/(部分(u1,u2,u3))|du1du2du3,
(8)

其中后者是雅各宾派.

这个梯度函数的φ在正交曲线坐标下由

梯度(φ)=德尔菲
(9)
=1/(h1)(partialphi)/(partial_1)u_1^^+1/(h2),
(10)

这个发散

 div(F)=del·F=1/(h_1h_2h_3)[部分/(partial_1)(h2h_3F_1)+部分/(partialu_2)(h_3h_1F_2)+部分,
(11)

卷曲

del xF(删除xF)=1/(h1h_2h_3)|h1u_1^^h2u_2^^h3u_3^^;部分/(partialu_1)部分/(pertialu_2)部分/;h1F_1 h2F_2 h3F_3|
(12)
=1/(h2h_3)[部分/(partialu_2)(h3F_3)-部分/。
(13)

对于一次曲面,具有正交交点的曲面的唯一三维坐标系为笛卡尔协调(Moon and Spencer 1988,第1页)。包括退化病例是11组具有正交坐标的二次曲面。此外,拉普拉斯方程亥姆霍兹微分方程在所有这些坐标系中都是可分离的(月球斯宾塞1988年,第1页)。

二度或二度以下的平面正交曲线坐标系包括二维坐标系笛卡尔坐标极地的协调.

二次或二次以下的三维正交曲线坐标系包括双极柱坐标,双球面坐标,三维笛卡尔坐标,共焦的椭球坐标,共焦的抛物面坐标,圆锥坐标,循环坐标,圆柱形的协调,椭圆柱形协调,扁球坐标,抛物线坐标,抛物线柱坐标,抛物面的协调,长球形协调,球面坐标,环形坐标。这些是退化的案例共焦椭球协调.

正交坐标系也可以从四阶(特别是,周期坐标)和更高的表面(Bócher 1894),但在解决物理问题方面通常不那么重要二次曲面(Moon和Spencer 1988,第1页)。


另请参见

变量变换定理,卷曲,曲线坐标,循环坐标,分歧,梯度,雅各宾派,拉普拉斯语,倾斜坐标系

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Arfken,G.《曲线坐标》和《微分向量算子》第2.1和2.2节数学物理学家方法,第三版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,第86-90页和1985年90-94。博彻,M。尤伯·莱亨恩特·威克伦根潜在风险。德国莱比锡:Teubner,1894年。Darboux,G。表面粗糙度和表面粗糙度《想象空间》。巴黎:赫尔曼,1896年。达布,G.公司。Leçons sur-les systemes正交和曲线。巴黎:高瑟·维拉斯,1910年。I.S.格雷斯泰恩。和I.M.Ryzhik。桌子积分、级数和乘积,第6版。加州圣地亚哥:学术出版社,第1084-1088页,2000年。G·拉梅。Leçons酒店sur les coordonneées curvalinges et leurs提供了多种应用程序。巴黎:Mallet-Bachelier,1859年。Moon,P.和Spencer,D.E。“十一坐标系。“§1英寸字段理论手册,包括坐标系、微分方程及其解决方案,第2版。纽约:Springer-Verlag,第1-48页,1988年。莫尔斯,下午。和Feshbach,H.“曲线坐标”和“表曲线坐标的属性。“§1.3方法理论物理第一部分。纽约:McGraw-Hill,第21-31页和115-117, 1953.Müller,E.“Die verschiedenen Koordensysteme”S.596英寸Encyk公司。数学。维森施。,Bd.III.1.1.1。德国莱比锡:Teubner,1907-1910.

另请参见

曲线坐标

参考Wolfram | Alpha

正交坐标系

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“正交坐标系。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/OrthogonalCoordinateSystem.html

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