正常数字

一个数字被称为对基数的简单法线如果它的底座-扩展使每个数字以平均频率出现倾向于.

正常数字是无理数其中任何有限的，有限的数字模式发生在预期的在给定基址（或所有基址）中扩展的极限频率。例如，对于正常的十进制数，每个数字0-9将出现时间，预计每对数字00-99将出现在时间的1/100，等等。基数正常的数字-通常被称为-正常。

一个是-正常对于每个,3, ... 据说是绝对正常（贝利和克兰德尔2003）。

正如Kac（1959）所述，“通常情况下，证明绝大多数物体拥有某种属性比证明展览甚至一个这样的物体。。。。很难展示一个“正常”的数字！"（Stoneham，1970年）。

如果实数 是-正常，那么它也是-正常用于和整数（Kuipers和Niederreiter，1974年，第72页；Bailey和克兰德尔2001）。此外，如果和是理性的具有和是-正常，那么也是，而如果是一个整数，那么也是-正常（柯伊伯和尼德雷特1974年，第77页；贝利和克兰德尔2001）。

确定数字是否正常是一个未解决的问题.甚至不知道基础数学常数例如圆周率（Wagon 1985，Bailey and Crandall 2003），这个2的自然对数 （Bailey和Crandall，2003年），阿佩里的常数 （Bailey和Crandall，2003年），毕达哥拉斯常数 （Bailey and Crandall 2003），以及e（电子）虽然前3000万数字属于非常均匀地分布式的（Bailey 1988）。

测试时对于(毕达哥拉斯常数位数, 3 (Theodorus常数位数, 5, 6, 7, 8,10、11、12、13、14、15表示平方根可能是正常的（拜尔等人。1970ab），这些数字的正常值（可能直到最近）也没有得到证实。Isaac（2005）最近出版了一本预印本这表明表格中的每个数字对于不是一个完美的正方形就是以2为底的法线。不幸的是，这项工作使用了一种非标准的方法，至少对一些人来说，这种方法显得相当模糊看过它的专家。

虽然Borel（1909）证明了几乎所有关于勒贝格测度，除了数字特殊类常数（例如，Stoneham 1973、Korobov 1990、Bailey和Crandall2003年），已知的唯一正常数字（以某些基数）是人为构造的例如Champernowne常数和这个科普兰-埃尔德常数特别是，这个二进制Champernowne常数

(1)

（组织环境信息系统A030190型)2-正常（Bailey和Crandall2001).

Bailey和Crandall（2001）表明，根据与伪随机数生成器相关的未经证实但合理的假设，常数,,和将为2-正常，其中是阿佩里常数Stoneham（1973）证明所谓的Stoneham数字

(2)

哪里和是相对质数正整数，是-正常的时间是一个奇数素数 和是一个基本根属于Bailey扩大了这一结果和Crandall（2003年），他们证明了对于所有正整数都是正常的但前提是和是相对质数.

Korobov（1990）表明，常数

(3)

是-正常对于正整数和和 相对质数，结果完全被指责使用Bailey和Crandall（2003）的不同技术。令人惊讶的是，科罗波夫（1990）也给出了一个显式算法来计算继续的分数属于.

Bailey和Crandall（2003）也成立了-形式常数的正规性对于某些整数序列和.