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Newton-Cotes公式

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Newton-Cotes公式是一个非常有用且简单的公式族数值积分技术。

集成函数f（x）在一段时间内[甲，乙]，将其划分为n个相等的部分，以便f_n=f（x_n）和h=（b-a）/n.然后找到多项式它近似于列表函数，并将其积分以近似地区曲线下方。查找配件多项式,使用拉格朗日插值多项式.所得公式称为牛顿-库特斯公式或求积公式。

如果间隔为[x_1，x_n]包含在配合中，如果点[x_2，x_（n-1）]或这两者的变体。如果公式使用n个点（关闭或打开）系数条款总数为n-1个.

如果函数f（x）是显式给出的，而不是简单地按值列表x指数，最佳的数值积分方法称为高斯正交。通过选择函数采样的间隔，此过程生成更精确的近似值（但实现起来要复杂得多）。

梯形规则

两点闭合牛顿-库特斯公式称为梯形法则因为它将曲线下的面积近似为梯形带水平底座和斜顶（连接端点x_1和x2个). 如果第一点是x_1，则另一个端点将位于

x2个=x_1+小时，
（1）

和拉格朗日插值多项式通过这些点（x_1，f_1）和（x2，f2）是

P_2（x）=（x-x_2）/（x_1-x_2）f_1+（x-x_1）/（x_2-x_1）f_2
（2）
=（x-x1-h）/（-h）f1+（x-x1）/hf2
(3)
=x/h（f2-f1）+（f1+（x1）/hf1-（x1。
(4)

在区间上积分（即，找到梯形的面积），然后给出

int（x1）^（x2）f（x）dx=int_（x_1）^（x_1+h）P_2（x）dx
(5)
=1/（2h）（f2-f1）[x^2]（x_1）^
(6)
=1/（2h）（f2-f1）（x2+x1）（x2-x1）+（x2-x1）（f1+（x1）/hf1-（x1）/hf2）
(7)
=1/2（f2-f1）（2x1+h）+f1h+x1（f2-f2）
(8)
=x1（f2-f1）+1/2h
(9)
=1/2h（f1+f2）-1/（12）h^3f^（''）（xi）。
(10)

这是梯形规则（Ueberhuber 1997，p.100），最后一个术语给出了误差量（自x_1<=xi<=x_2，不比的最大值差f^（''）（xi）在此范围内）。

三点法则被称为辛普森法则. The横坐标是

x2个=x_1+小时
(11)
x_3个=x_1+2h
(12)

和拉格朗日插值多项式是

P_3（x）=（（x-x2）（x-x3））/（（x1-x2）
(13)
=（x^2-x（x_2+x_3）+x_2x_3
(14)
=1/（h^2）{x^2（1/2f1-f2+1/2f3）+x[-1/2（2x1+3h）f1+（2x1+2h）f1-21/2（2x1+h）f3]+[1/2（x_1+h）（x_1+2h）f1-x_1（x_1+2h）f2+1/2x_1。
(15)

集成和简化提供了

int_（x_1）^（x_3）f（x）dx=int_（x1）^（x_1+2h）P_3（x）dx=1/3h（f1+4f_2+f_3）-1/（90）h^5f^（（4））（xi）
（16）

（Ueberhuber 1997年，第100页）。

四点闭合规则是辛普森3/8规则,

int（x1）^（x4）f（x）dx=3/8h（f1+3f2+3f3+f4）-3/（80）h^5f^（（4））（xi）
(17)

（Ueberhuber 1997年，第100页）。5点闭合规则是布勒的规则,

int（x1）^（x5）f（x）dx=2/（45）h（7f1+32f2+12f3+32f4+7f5）-8/（945）h^7f^（（6））（xi）
(18)

（Abramowitz和Stegun 1972年，第886页）。高阶规则包括6点

int_（x_1）^（x_6）f（x）dx=5/（288）h（19f1+75f2+50f_3+50f_4+75f_5+19f_6）-（275）/（12096）h^7f^（（6））（xi），
(19)

7分

int（x1）^（x7）f（x）dx=1/（140）h（41f1+216f2+27f3+272f4+27f5+216f6+41f7）-9/（1400）h^9f^（（8））（xi），
(20)

8点

int_（x_1）^（x_8）f（x）dx=7/（17280）h（751f_1+3577f2+1323f_3+2989f_4+2989f2+1323 f_6+3577f_7+751f_8）-（8183）/（518400）h^9f^（（8））（xi），
(21)

9分

int_（x_1）^（x_9）f（x）dx=4/（14175）h（989f1+5888f2-928f_3+10496f_4-4540f_5+10496f2-6-928f_7+5888f_8+989f_9）-（2368）/（467775）h^（11）f^（（10））（xi）
(22)

（Ueberhuber 1997年，第100页），10分

int_（x_1）^（x（10））f（x）dx=9/（89600）h[2857（f1+f_（10）]+15741（f2+f_9）+1080（f_3+f_8）+19344（f_4+f_7）+5778（f_5+f_6）]-（173）/（14620）h^（11）f^（10）（xi），
(23)

和11分

int_（x_1）^（x（11））f（x）dx=5/（299376）h[16067（f1+f（11）]+106300（f2+f（10））-48525（f3+f9）+272400（f4+f8）-260550（f5+f7）+427368f6]-（1346350）/（326918592）h^（13）f^（12））（xi）
(24)

规则。

一般来说n个-点规则由解析表达式给出

int_（x_1）^（x_n）f（x）dx=hsum_（i=1）^nH_（n，i）f_i，
(25)

哪里

H_（n，r+1）=（（-1）^（n-r））/（r！（n-r！）int_0^nt（t-1）。。。（t-r+1）（t-r-1）。。。（t-n）dt
（26）

（Whittaker和Robinson，1967年，第154页）。这给出了下表中所示的系数三角形（OEISA093735号和A093736号).

n\r公司012三45
11/21/2
21/34/31/3
三3/89/89/83/8
4(14)/(45)(64)/(45)8/(15)(64)/(45)(14)/(45)
5(95)/(288)(125)/(96)(125)/(144)(125)/(144)（125）/（96）(95)/(288)

请注意

sum_（r=0）^nH_（n，r+1）=n，
(27)

封闭的“扩展”规则使用低阶封闭规则的多个副本来构建高阶规则。通过适当调整此流程可以构造出特别好的属性。对于n个列表点，使用梯形的规则 （n-1）时间和结果相加得出

int_（x_1）^（x_n）f（x）dx=（int_（x_1）+int（x（n-1））^（xn））f（x）dx=1/2h[（f1+f2）+（f2+f3）+…+（f2（n-2）+f1））+（f1（n-1）+fn）]=h（1/2f_1+f_2+f_3+…+f_（n-2）+f（n-1）+1/2f_n）-1/（12）nh^3f^（‘’）（xi）
(28)

（Ueberhuber 1997年，第107页）。对扩展的梯形法则给出了一种称为隆伯格集成。的三点扩展规则古怪的 n个是

int_（x_1）^（x_n）f（x）dx=h[（1/3f1+4/3f_2+1/3f_3）+（1/3f_3+4/3f_4+1/3f_5）+…+（1/3（n-4）+4/3f_（n-3）+1/3f_=1/3小时（f1+4f_2+2f_3+4f_4+2f_5+…+4f_（n-1）+f_n）-（n-1）/21/（90）h^5f^（（4））（xi）。
(29)

应用辛普森3/8规则，然后辛普森的规则（3分）两次，加起来

[整数_（x_1）^（x_4）+整数_（x_4）^=h[（3/8f1+9/8f2+9/8f_3+3/8f_4）+（1/3f_4+4/3f_5+1/3f_6）+（1/3 f_6+4/3f.7+1/3f.8）]=h[3/8f1+9/8f2+9/8f_3+（3/8+1/3）f_4+4/3f_5+（1/3+1/3）f_6+4/3f.7+1/3f_8]=h（3/8f1+9/8f2+9/8f3+（17）/（24）f4+4/3f5+2/3f6+4/3f7+1/3f8）。
(30)

采取下一个Simpson的3/8步

int（x8）^（x（11））f（x）dx=h（3/8f8+9/8f9+9/8f（10）+3/8f（11）。
(31)

结合前面的结果得出

int_（x_1）^（x（11））f（x）dx=h[3/8f1+9/8f2+9/8f3+（17）/（24）f4+4/3f5+2/3f6+4/3f7+（1/3+3/8）f8+9/8f2+9/8f（10）+3/8f（11）]=h（3/8f1+9/8f2+9/8f3+（17）/（24）f4+4/3f5+2/3f6+4/3f7+（17）或（24）f 8+9/8f2+9/8f（10）+3/8f（11）），
(32)

其中条款上限为f（10）现在已经完全确定了。持续给予

h（3/8f1+9/8f2+9/8f3+（17）/（24）f4+4/3f5+2/3f6++2/3f_（n-5）+4/3f_（n-4）+（17）/（24）f_（n-3）+9/8f_（n-2）+9/8f_（n-1）+3/8f_n）。
(33)

现在用三分成绩求平均

h（1/3f1+4/3f2+2/3f3+4/3f4+2/3f5+4/3f5（n-1）+1/3fn）
(34)

以获得

h[（17）/（48）f_1+（59）/（48）f_2+（43）/（48）f_3+（49）/（48）f_4+（f_5+f_6+…+f_（n-5）+f_（n-4））+（49）/（48）f_（n-3）+（43）/（48）f_（n-2）+（59）/（48）f_（n-1）+（17）/（48）f_n]+O（n^（-4））。
(35)

请注意，所有中间项现在都具有统一性系数.类似地，将三点规则与（2+3）点规则相结合可以得出

h（5/（12）f_1+（13）/（12）f_2+f_3+f_4++f（n-3）+f（n-2）+（13）/（12）f（n-1）+5/（12）f_n）+O（n^（-3））。
(36)

偶尔遇到的其他Newton-Cotes规则包括杜兰德的规则

int_（x_1）^（x_n）f（x）dx=h（2/5f_1+（11）/（10）f_2+f_3++f（n-2）+（11）/（10）f（n-1）+2/5fn）
(37)

（拜尔1987），哈代定律

int（x0-3h）^（x0+3h）f（x）dx=1/（100）h（28f（-3）+162f（-2）+22f0+162f2+28f3）+9/（1400）h^7[2f^（（4））（xi_2）-h^2f^，
(38)

和韦德尔法则

int（x1）^（x7）f（x）dx=3/（10）h（f1+5f2+f3+6f4+f5+5f6+f7）
(39)

（拜尔1987）。

开放式Newton-Cotes规则使用积分区间以外的点，得出1点

int_（x0）^（x2）f（x）dx=2hf1，
(40)

2点

整数（x0）^（x3）f（x）dx=整数_（x_1-h）^（x_1+2h）P_2（x）dx
(41)
=1/（2h）（f2-f1）[x^2]（x1-h）^（x_1+2h）+（f1+（x_1）/hf_1-（x1）/hf2）[x]（x_1-h）
(42)
=3/2h（f1+f2）+1/4h^3f^（''）（xi），
(43)

3点

int_（x0）^（x4）f（x）dx=4/3h（2f1-f2+2f3）+（28）/（90）h^5f^（（4））（xi），
(44)

4点

int_（x0）^（x5）f（x）dx=5/（24）h（11f1+f2+f3+11f4）+（95）/（144）h^5f^（（4））（xi），
(45)

5分

int_（x0）^（x6）f（x）dx=6/（20）h（11f_1-14f_2+26f_3-14f_4+11f_5）-（41）/（140）h^7f^（（6））（xi），
(46)

6分

int_（x0）^（x7）f（x）dx=7/（1440）h（611f_1-453f_2+562f_3+562f_4-453f_5+611f_6）-（5257）/（8640）h^7f^（（6））（xi），
(47)

和7点

int_（x0）^（x8）f（x）dx=8/（945）h（460f_1-954f_2+2196f_3-2459f_4+2196f_5-954f_6+460f_7）-（3956）/（14175）h^9f^（（8））（xi）
(48)

规则。

一个2点开放扩展公式是

int_（x_1）^（x_n）f（x）dx=h[（1/2f_1+f_2+…+f_（n-1）+1/2f_n）+1/（24）（-f_0+f_2+f_。
(49)

单区间外推规则根据区间周围的点估计区间内的积分

hf_1+O（h^2f^'）
(50)
1/2h（3f_1-f_2）+O（h^3f^（''））
(51)
1/（12）小时（23f_1-16f_2+5f_3）+O（h^4f^（（3）））
（52）
1/（24）小时（55f_1-59f_2+37f_3-9f_4）+O（h^5f^（（4）））。
(53)

另请参阅

布尔规则,差分方程,杜兰德法则,有限差异,高斯正交,哈迪的规则,拉格朗日插值多项式的,数值积分,肖夫顿法则,辛普森的规则,辛普森3/8规则,梯形的规则,韦德尔法则,伍尔豪斯公式

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。“整合”第25.4条手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第885-887页，1972年。Beyer，W.H。（编辑）。CRC公司标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第127页，1987Corbit，D.“数值积分：从梯形到RMS：面向对象的数值积分。"Dobb博士的J。，编号252，1996年10月117-120日。Daniell，P.J。“插值中的余数和求积公式。"数学。加兹。 24, 238, 1940.福恩伯格，B.“有限差分公式中权重的计算”SIAM版本。 40,685-691, 1998.希尔德布兰德，F.B。介绍数值分析。纽约：McGraw-Hill，第160-1611956页。按下，W.H。；弗兰纳里，B.P。；Teukolsky，S.A。；和韦特林。“等距横坐标的经典公式”§4.1数字的FORTRAN:科学计算的艺术，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第124-130页，1992年。新泽西州斯隆。答：。序列A093735号和A093736号在“整数序列在线百科全书”中尤伯胡贝尔，C.重量。数字的计算2：方法、软件和分析。柏林：Springer-Verlag，1997E.T.惠塔克。和Robinson，G.“牛顿-科茨公式集成的。“第76条这个观察演算：数值数学论文，第4版。新建约克：多佛，第152-1561967页。

参考Wolfram | Alpha

牛顿-库特斯公式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“牛顿公式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.html

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