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梅林变换


梅林变换是积分变换由定义

φ(z)=int_0^inftyt^(z-1)f(t)dt
(1)
f(t)=1/(2pii)整数_(c-整数)^(c+整数)t^(-z)φ(z)dz。
(2)

它在Wolfram语言作为梅林变换[快递,x个,].

转变φ(z)如果积分为

 int_0^infty|f(x)|x^(k-1)dx
(3)

对一些人来说是有界的k> 0个,在这种情况下,相反f(t)与一起存在c> k个.功能φ(z)f(t)称为梅林变换对如果另一个已知。

下表给出了常见函数的梅林变换(Bracewell 1999,第255页)。在这里,三角洲delta函数,高(x)海维西德阶跃函数,伽马(z)伽马函数,B(z;a,B)不完整的β函数,erfcz公司是互补误差函数电流变液控制,以及硅(z)正弦积分.

f(t)φ(z)汇聚
三角洲(t-a)a^(z-1)
H(t-a)-(a^z)/za> 0,z<0
H(a-t)(a^z)/za> 0,z>0
t^nH(t-a)-(a^(n+z))/(n+z)a> 0,R[z+n]<0
t^nH(a-t)(a^(n+z))/(n+z)a> 0,R[n+z]>0
e ^(-at)a^(-z)伽马(z)R[a],R[z]>0
e^(-t^2)1/2伽马(1/2赫兹)R[z]>0
犯罪伽马(z)sin(1/2皮兹)-1<R[z]<1
成本伽马(z)cos(1/2piz)0<R[z]<1
1/(1+t)picsc(piz)0<R[z]<1
1/((1+t)^a)(γ(a-z)γ(z))/(γ(a))R[a-z]>0,R[z]>0
1/(1+t^2)1/2像素(1/2像素)0<R[z]<2
(1-t)^(a-1)H(1-t(伽马(a)伽马(z))/(伽玛(a+z))R[a],R[z]>0
(t-1)^(-a)H(t-1)(伽马(1-a)伽马(a-z))/(伽玛(1-x))R[a-z]>0,R[a]<1
ln(1+t)(picsc(piz))/z-1<R[z]<0
1/2磅(-1)吨(皮塞克(1/2piz))/(2z)0<R[z]<1
完善(伽马(1/2(1+z))/(平方(pi)z)R[z]>0
硅(t)-1/zGamma(z)sin(1/2皮兹)R[z]>-1
(t^a)/(1-t)H(t-a)-B(a^(-1));1-a-z;0)a> 1,R[a+z]<1

梅林变换的另一个示例是黎曼函数 f(x)黎曼-泽塔函数 ζ(s),

f(x)=lim_(t->infty)1/(2pii)int_(2-iT)^(2+iT)(x^s)/slnzeta(s)ds
(4)
(印度)/秒=int_1^inftyf(x)x^(-s-1)dx。
(5)

相关对用于首要的数论(Titchmarsh 1987,第51-54页,方程式3.7.2)。


另请参见

傅里叶变换,完整的转换,斯特拉森公式

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阿夫肯,G。物理学家数学方法,第三版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,第795页,1985R.Bracewell。这个傅里叶变换及其应用,第三版。纽约:McGraw-Hill,第254-257页,1999I.S.格雷斯泰恩。和I.M.Ryzhik。“梅林转型。”§17.41英寸桌子积分、级数和乘积,第6版。加州圣地亚哥:学术出版社,第1193-1197页,2000年。莫尔斯,P.M。和Feshbach,H。方法理论物理第一部分。纽约:McGraw-Hill,第469-471页,1953Oberhettinger,F。桌子梅林转型公司。纽约:Springer-Verlag,1974年。普鲁德尼科夫,A.P.公司。;于·布里奇科夫。答:。;和O.I.Marichev。“积分评估和梅林变换。"伊托基·诺基i Tekhniki,Seriya Matemat。阿纳利兹 27,3-146, 1989.东卡罗来纳州蒂奇马什。这个黎曼-泽塔函数理论,第二版。纽约:克拉伦登出版社,1987年。兹威林格,D.(编辑)。CRC公司标准数学表和公式。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第567页,1995

参考Wolfram | Alpha

梅林变换

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“梅林变换。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/MellinTransform.html

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