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流形切线向量


大致来说,切线向量是在歧管。位于指向P(P)表格a向量空间调用了切线空间P(P),流形上切线空间的集合形成矢量调用了切线束.

切线向量流形

一点处的切线向量P(P)流形上的切向量位于P(P)坐标图.附近坐标的变化P(P)导致可逆线性地图切线向量在坐标中的表示。这种转变雅各宾派,必须是非奇异的坐标的改变。因此,切线向量P(P)定义明确的.A型矢量领域是为每个点指定一个切向量。收集切线向量构成切线束、和向量场是部分这个捆绑包的。

TangentVectorNabla(切线向量)

切线向量用于微积分歧管由于流形是局部欧几里德的,微分和积分的通常概念在任何情况下都有意义坐标图和他们可以转移到歧管。更具体地说,切线向量是流形的版本方向导数(于a点)。与微积分的另一种类比是速度矢量.

关于切向量,至少有三种不同的观点。每个人都有自己的优点和缺点。外部观点使用向量空间结构属于欧几里德空间.将流形视为子流形欧几里德空间的切线向量可以认为是切平面,子流形切线空间。在坐标图,切线向量是a(图表)图表切线空间,这只是的副本欧几里德空间.

外部观点的问题在于,它们取决于嵌入坐标图表有两种方法可以从本质上考虑切线向量,作为抽象的元素固有切线空间从抽象的角度来看,这些更令人满意,但有时有必要在坐标图中进行计算。

在以下位置区分切线向量很重要P(P)从任何其他点的切线向量问,尽管它们可能看起来类似。谎言,有一个并行的概念,并且存在非均匀向量领域。总的来说,这远非事实。在球体上序号^2例如,任何光滑向量场都必须在某个地方消失。

切线向量的一个更内在的几何定义是在P(P)成为一名等价类路径的P(P)同意第一订单。子流形的外部几何定义,将切线向量视为环境切线向量的子空间空间,

在代数上,流形上的向量场是推导戒指平滑函数。也就是说,一个向量场作用于平滑函数并满足产品规则.向量场X通过方向导数关于函数,

 d_X(f)=X·del f。
(1)

更准确地说,切线束是拓扑层光滑函数层上的导数,在这种情况下,切线向量位于P(P)位于P(P).

事实上,在坐标系中(x_1,…,x_n),切线标准基的符号0处的向量为

 部分/(部分x i),
(2)

其中推导部分/部分x i属于(f)像往常一样偏导数

 (partialf)/(partialx_i)。
(3)

让基点在坐标图中变化,部分/部分x i是向量场,但仅在中定义坐标图.


另请参见

微积分,坐标图,导数代数,有差别的k个-表格,方向导数,欧几里德空间,外部代数,李群 歧管,,切线束,切线向量,切线空间,拓扑Sheaf,矢量字段,速度向量

此条目由贡献托德罗兰

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引用如下:

托德·罗兰.“流形切线向量”。来自数学世界--Wolfram Web资源,创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/ManifoldTangentVector.html

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