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马尔法蒂圆圈


故障圆圈

三个圆圈装在一个三角形这样每一个都与另两个相切,并且与三角形被称为马尔法蒂圈。Mafatti配置出现在马丁(1998)。

错误的圆形结构

马尔法蒂圆的位置和半径可以通过标记侧面和距离来找到,如上所示。连接线的投影长度圈子伽马_1伽马射线_2在侧面AB公司可以从右侧的图表中找到

d(12)=平方码((r1+r2)^2-(r2-r1)^2)
(1)
=第2节(r_1r_2)。
(2)

因此,根据标签长度必须与边长之和的条件,可以得出三个方程式,

c(c)=d1+2sqrt(r1r2)+d2
(3)
一=d2+2sqrt(r2r3)+d3
(4)
b条=d3+2sqrt(r3r1)+d1。
(5)

根据圆心位于三角形顶点的相应角平分线上的事实,得出了另外三个方程,因此

棕褐色(1/2A)=(r1)/(d1)
(6)
棕褐色(1/2B)=(r2)/(d2)
(7)
棕褐色(1/2C)=(r3)/(d3)。
(8)

用边长重新表示这些方程,重新排列和平方以消除平方根,然后给出六个多项式方程组

4r_1r_2=(d_1+d_2-c)^2
(9)
4r_2r_3=(d_2+d_3-a)^2
(10)
4r_1r_3=(d_1+d_3-b)^2
(11)
2bc(d_1^2-r_1^2)=(d_1 ^2+r_1^ 2)(-a^2+b^2+c^2)
(12)
2ac(d_2^2-r2^2)=(d_2 ^2+r2 ^2)(a^2-b^2+c^2)
(13)
2ab(d_3^2-r3^2)=(d_3 ^2+r3 ^2)(a^2+b^2-c^2)。
(14)

该系统可以同时求解半径和距离。的半径和位置A类-圆形由复杂多项式的适当根给出

 f(a,b,c)=4096(a-b-c)^3(a+b+c)^2x^8+8192(a-b-c)^3+2bc)x^5+128(a-b-c)(a+b-c)^2(a-b+cx^3+128(a+b-c)^3(a-b+c c)^6(a-b+c)^6。
(15)

特别地,

R_A(R _ A)=(f(a,b,c))_i
(16)
R(_B)=(f(b,c,a))_j
(17)
卢比(_C)=(f(c,a,b))_k
(18)

哪里(f) _ i是一个多项式根,并且给出了中心通过

C_A(A)=(平方码((-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c
(19)
C_B(_B)=b: (平方码((-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c
(20)
C_C(C)=c: c:(平方码((-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c(a+b+c)))/(2(f(c,a,b))k)-(a+b)。
(21)

让圆有半径第1段,第2段,以及第3段.然后是半径第页给出了这些圆内接的三角形的通过

第页=(平方码(r1r2r3)(平方码
(22)
=(2sqrt(r1r2r3))/(平方(r1)+平方(r2)+平方
(23)

(Fukagawa和Pedoe,1989年,第106页)。

尽管这些圈子多年来一直被认为可以为马尔法蒂的问题,随后展示了从未提供解决方案。


另请参见

Ajima-Malfatti积分,阿波罗垫圈,马尔法蒂的问题,马尔法蒂三角,大理石问题,草皮圆圈,切线圈子

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工具书类

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参考Wolfram | Alpha

马尔法蒂圆圈

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“马尔法蒂圈子。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/MafattiCircles.html

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