Lights Out拼图

一种单人游戏，在一个可以打开和关闭的矩形格子灯上进行。动作包括在其中一个方格内翻转“开关”，从而切换该方格和所有四个垂直和水平相邻方格的打开/关闭状态。从随机选择的光模式开始，目的是关闭所有的灯。确定是否可以从一组所有的灯都打开到所有的灯都关闭的问题被称为“所有的问题”。正如Sutner（1989）所示，对于正方形晶格（Rangel Mondragon）来说，这总是可能的。

这可以转化为以下代数问题。

1.每个灯配置都可以看作一个矩阵中包含条目（即a（0,1）-矩阵，其中每个1代表一个燃烧的灯，0代表一个关闭的灯。例如，对于案例，

2.置于的开关的动作可以解释为矩阵加法，其中是矩阵中唯一等于1的项是放置在以及相邻位置；基本上有三种不同类型的矩阵，取决于是否是拐角入口，

侧面入口，

或中间入口，

3.由于矩阵加法是可交换的，因此执行移动的顺序是无关的。

4.每一个成功的动作组合都可以用数学形式表示：

在这里，表示零矩阵，对应于所有灯都关闭的情况，以及每个系数表示切换的次数必须按下。因为我们正在解方程（mod 2），因此可以用等效形式书写

此外，只需将0和1视为因此，上述等式为不定常线性方程组在田野上.

例如，与上述初始（左侧）光模式对应的系统可以写为

它有正好一个解决方案：(,,)，这意味着按下开关,,、和（对应上图中的红点）。自上述方程组的矩阵具有最大秩（它是行列式非零的矩阵）-格总是可解的。

一般来说点阵是从无光获得的通过按下一些开关来形成模式。在线性代数语言中，它们是-一些矩阵的和矩阵.例如-晶格如上文所示。所有其他矩形大小为对于每个可能的启动模式，都可以求解或更少。

有时可能有多种解决方案。例如，在在这种情况下，有四种可能的解决方案来实现上述全光模式。

有些模式没有解决方案。例如，在如上图所示，不可能全部关闭灯光。

如Sutner（1989）所示，对于任何尺寸正方形格子。上图显示了所有可能的解决方案对于至7。解决方案的数量（忽略旋转和反射）, 2, ... 是1、1、1和16、4、1和256、1和64、1和1、16、，1, ... （组织环境信息系统A075462号)，以及相应的要按下的最小按钮数为1、4、5、4、15、28、33、40、25、44、，55, 72, 105, 56, 117, ... （组织环境信息系统A075464号). 这个具有独特解决方案的板尺寸（具有等效解决方案的计数板因此，旋转或反射是1、2、3、6、7、8、10、12、13，15, 18, 20, ... （组织环境信息系统A076436号; 考恩和肯尼迪2000年）。

去掉通过旋转或反射等效的解，得到上述不同的解，其中有1，1，1，1, 1, 5, 1, ... （组织环境信息系统A075463号). 电路板尺寸具有独特的解决方案（计数板通过旋转或因此，反射等效）为1、2、3、5、6、7、8、10、12、13、15、17，18, ... （组织环境信息系统A076437号).