克莱因石英

考虑平面四次曲线由定义

此处使用同质坐标，因此可以被视为一个参数（上图所示为曲线对于的许多值之间和2），超过领域属于特征3.哈特肖恩（1977年，第305页）称这是一条“有趣的曲线”，因为它是非奇异的，每个点都是一个拐点，并且二重的曲线 是同构的到但是自然地图是完全不可分割的。

复投影坐标中的曲面（Levy 1999，第ix页；左图），理想曲面由方程确定

（瑟斯顿1999年，第3页；右图）更恰当地称为克莱因四重奏或克莱因曲线。它的常数为零高斯曲率.

Klein（1879；翻译于1999年重印）发现这个表面具有许多显著的特性，包括当镜子反射时惊人的336倍对称性允许（Levy 1999，第ix页；Thurston 1999，第2页），该数字后来被发现是其类型的曲线可能的最大值（Hurwitz 1893；Karcher和韦伯1999年，第9页）。克莱恩得出了这个方程式，作为上半平面由分数模群系数为整数且降为恒等式的线性变换模数7（Levy 1999，第ix页）。

抽象表面无法在三维空间中精确呈现，但从拓扑结构上看，克莱恩四分体是一个三孔圆环体（瑟斯顿1999年，第1和4页）。2008年，该曲面被渲染为在有理坐标上具有24个平面七角体的环形曲面（McCooey 2009，Szilasi-Lajos，pers.comm.，2009年1月22日）。

Klein四次曲线可被视为柏拉图立体概念的延伸，如上图所示（Coxeter 1956；Thurston 1999，第7页；Wolfram 2002，第1050).在平铺中令人惊讶的是，这个“环”等于，其中是一个斐波那契数（瑟斯顿，1999年，第5页）。

该表面由赫拉曼·弗格森（Helaman Ferguson）用大理石和蛇纹石雕刻而成，于1993年11月14日在伯克利的数学科学研究所（Levy 1999，第142页之后的第1版；Borwein和Bailey 2003，第55页，彩色第四版和封底）揭开面纱。