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雅可比多项式

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雅可比多项式，也称为超几何多项式，出现在旋转组在方程的解中对称顶部的运动。它们是解决雅各比微分方程，并将其他一些特殊的命名多项式作为特殊多项式案例。它们在沃尔夫拉姆语言作为雅各布·伊普[n个,一,b条,z（z）].

对于α=β=0,P_n^（（0,0））（x）减少到勒让德多项式的. TheGegenbauer多项式

G_n（p，q，x）=（n！伽马（n+p））/（伽马（2n+p））p_n^（（p-q，q-1））（2x-1）
(1)

和切比雪夫多项式第一类也可以看作是雅可比多项式的特殊情况。

堵塞

y=sum_（nu=0）^inftya_nu（x-1）^nu
（2）

进入雅可比微分方程提供了递推关系

[gamma-nu（nu+alpha+beta+1）]anu-2（nu+1）（nu+alpha+1）a（nu+1
(3)

对于努=0,1, ..., 哪里

γ=n（n+α+β+1）。
（4）

解决递推关系给予

P_n^（（α，β））（x）=（（-1）^n）/（2^nn！）
(5)

对于α，β>-1.它们在区间内形成一个完整的正交系统[-1,1]关于加权函数

w_n（x）=（1-x）^alpha（1+x）^beta，
(6)

并根据

P_n^（（α，β））（1）=（n+α；n），
(7)

哪里（n；k）是一个二项式系数雅可比多项式也可以写

P_n^（（α，β））=（γ（2n+α+β+1））/（n！γ（n+α+beta+1））G_n（α+beta+1，β+1,1/2（x+1）），
(8)

哪里伽马（z）是伽马函数和

G_n（p，q，x）=（n！伽马（n+p））/（伽马（2n+p））p_n^（（p-q，q-1））（2x-1）。
(9)

雅可比多项式为正交多项式并满足

int_（-1）^1P_m^（（α，β））P_n^（α，贝塔））（1-x）^alpha（1+x）^betadx=（2^（α+β+1））/（2n+α+β+1）（γ（n+α+1）γ（n+beta+1））/。
(10)

这个系数术语的x ^n个在里面P_n^（（α，β））（x）由提供

A_n=（伽马（2n+α+β+1））/（2^nn！伽马（n+α+β+1）。
(11)

他们满足了递推关系

2（n+1）（n+α+β+1）（2n+α+beta）P_（n+1）^（α，β））（x）=[（2n+α+β+1）（α^2-beta^2）+（2n+alpha+beta）_3x]P_n^（α，β），
(12)

哪里（m） _n（n）是一个Pochhammer符号

（m） _n=m（m+1）。。。（m+n-1）=（（m+n-1）！）/（（m-1）！）。
(13)

这个导数由提供

d/（dx）[P_n^（（α，β））（x）]=1/2（n+α+β+1）P_（n-1）^（α+1，β+1））（x）。
(14)

这个正交多项式具有加权函数 （b-x）^α（x-a）^β上封闭区间 [a，b]可以用形式表示

[常数]P_n^（（α，β））（2（x-a）/（b-a）-1）
(15)

（Szegö1975，第58页）。

特殊情况下α=β是

P_（2nu）^（α，α））（x）=（伽马（2nu+alpha+1）伽马（nu+1））/（伽玛（nu+alfa+1）伽玛（2nu+1）P_nu^（（alpha，-1/2））（2x^2-1）
(16)
=（-1）^nu（伽马（2nu+alpha+1）伽马（nu+1））/（伽马
(17)
P_（2nu+1）^（α，α））（x）=（γ（2nu+alpha+2）γ（nu+1））/（γ（nu+alfa+1）γ（2nu+2））xP_nu^（（alpha，1/2））（2x^2-1）
(18)
=（-1）^nu（伽马（2nu+alpha+2）伽马（nu+1））/（伽玛（nu+alpha+1）伽玛（2nu+2））xP_nu^（（1/2，alpha））（1-2x^2）。
(19)

其他身份是

P_n^（（α+1，β））（x）=2/（2n+α+β+2）（（n+α+1）P_n^（α，β））-（n+1）P_（n+1
(20)
P_n^（（α，β+1））（x）=2/（2n+α+β+2）（（n+β+1）P_n^（α，β））（x）+（n+1）P_（n+1
(21)
sum_（nu=0）^n（2nu+alpha+beta+1）/（2^（alpha+beta+1））=1/2（（y-1）^（-α）（y+1）^α，β）（y）/（x-y）
(22)

（Szegö1975，第79页）。

这个核多项式是

K_n^（（α，β））（x，y）=（2^（-α-β））/（2n+α+β+2）（γ（n+2）γ（n+alpha+beta+2））/
(23)

（Szegö1975，第71页）。

这个多项式判别式是

D_n^（（α，β））=2^（-n（n-1））乘积_（nu=1）^nnu^（nu-2n+2）（nu+alpha）^（nu-1）（nu+β）^×（n+nu+α+β）^（n-nu）
(24)

（Szegö1975，第143页）。

就超几何函数,

P_n^（（α，β））（x）=（n+α；n）_2F_1（-n，n+α+β+1；α+1；1/2（1-x））
(25)
=（（α+1）_n）/（n！）_2F_1（-n，n+α+β+1；α+1；1/2（1-x））
(26)
=（n+α；n）（（x+1）/2）^n_2F_1（-n，-n-β；α+1；（x-1）/（x+1，
(27)

哪里（α）_n是Pochhammer符号（阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第561页；Koekoek和Swarttouw，1998年）。

让N_1号是中的零数x英寸（-1,1）,氮气中的零数x英寸（-infty，-1）、和N_3号中的零数x英寸（1，infty）.定义克莱恩的符号

E（u）={0，如果u<=0；|_u_|，如果u为正且非整数；u-1，如果u=1，2。。。，
(28)

哪里|_x个_|是楼层功能、和

X（α，β）=E[1/2（|2n+alpha+beta+1|-|alpha|-|beta|+1）]
(29)
Y（α，β）=E[1/2（-|2n+α+β+1|+|alpha|-|beta|+1）]
(30)
Z（α，β）=E[1/2（-|2n+alpha+beta+1|-|alpha|+|beta|+1）]。
（31）

如果案例α=-1,-2,...,-n个,β=-1,-2,...,-n个,和n+α+β=-1,-2,...,-n个则为P_n^（（α，β））在各自的间隔中

N_1（α、β）={2|_1/2（X+1）_|对于（-1）^n（n+alpha；n）（n+beta；n）>0；2|_1/2X_|+1对于
(32)
N_2（α，β）={2|_1/2（Y+1）_|对于（2n+alpha+beta；n）（n+beta；n
(33)
N_3（α、β）={2|_1/2（Z+1）_|对于（2n+α+β；n）（n+α；n）>0；2|_1/2Z_|+1对于（2n+α+贝塔；n）
(34)

（Szegö1975，第144-146页），其中|_x个_|又是楼层功能.

最初的几个多项式是

P_0^（（α，β））（x）=1
(35)
P_1^（（α，β））（x）=1/2[2（α+1）+（α+β+2）（x-1）]
（36）
P_2^（（α，β））（x）=1/8[4（α+1）（α+2）+4（α+beta+3）（α+2）（x-1）+（α+beta+3，α+beta+4）（x-2）^2]
(37)

（Abramowitz和Stegun，1972年，第793页）。

参见Abramowitz和Stegun（1972年，第782-793页）以及Szegö（1975年，第4章）了解更多身份。

另请参阅

第一类切比雪夫多项式,Gegenbauer多项式,第二类雅可比函数,多元雅可比多项式,上升因子,泽尼克多项式的

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/Polynomials/JacobiP/

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《正交多项式》第22章手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第771-8021972页。安德鲁斯，G.E。；阿斯基，R。；和Roy，R.“Jacobi多项式和Gram行列式”和“生成雅可比多项式的函数。“§6.3和6.4特别功能。英国剑桥：剑桥大学出版社，第293-306页，1999Iyanaga，S.和Kawada，Y.（编辑）。“雅各比多项式。”附录A表20.V百科全书数学词典。马萨诸塞州剑桥：麻省理工学院出版社，第1480页，1980年。Koekoek、，R.和Swarttouw，R.F。“雅各比”第1.8条Askey-Scheme公司超几何正交多项式及其q个-模拟。荷兰代尔夫特：理工大学代尔夫特，技术数学和信息学学院报告98-17，第38-44页，1998罗马，S.“伞形微积分理论I。”J。数学。分析。应用。 87, 58-115, 1982.Szegö，G.“雅各比多项式。“通道4英寸正交多项式，第4版。普罗维登斯，RI:Amer。数学。Soc.，1975年。

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雅可比多项式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“雅各比多项式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/JacobiPolynomial.html

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