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反转

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反向点

反演是转换点的过程P（P）到相应的一组点P^’被称为他们的反向点.两点P（P）和P^’据说是反比到反转圆有反转中心 O=（x_0，y_0）和反转半径 k个如果P^’是垂直脚的海拔高度属于德尔塔OQP，其中问是圆上的一个点运行质量|_PQ.

反演的类似符号可以在三维空间中使用尊重反转球.

如果P（P）和P^’是反向点，然后是直线L（左）通过P（P）并垂直于操作有时被称为“极地的"相对于点P^’，被称为“逆变极“.此外，给定曲线在反演下转换成的曲线称为its曲线反向曲线（或者更简单地说，它的“逆”）。雅各布·斯坦纳首先对这种反演进行了系统研究。

从相似的三角形中，可以立即得出相反的点P（P）和P^’服从

（OP）/k=k/（OP^'），
(1)

或

k^2=OP×OP^'
(2)

（Coxeter 1969，第78页），其中数量k^2（千分之二）被称为圆功率（科克塞特1969年，第81页）。

点逆的一般方程（x，y）相对于反转圆圈具有反演中心 （x_0，y_0）和反转半径 k个由提供

x ^’=x_0+（k^2（x-x_0））/（（x-x.0）^2+（y-y_0）^2）
(3)
是^'=y_0+（k^2（y-y_0））/（（x-x_0）^2+（y-y_0）^2）。
(4)

以矢量形式，

x^'=x_0+（k^2（x-x_0））/（|x-x_0|^2）。
(5)

请注意圆周的反转圆是它自己的反点。此外，任何角反转到相反方向角.

反转圆

治疗线作为圈子属于无限的 半径，全部圈子反转到圈子（Lachlan 1893，第221页）。此外，任何两个不相交的圆都可以通过取这个反演中心在两个所谓的极限点两个圆圈中的一个（Coxeter 1969），任何两个圆都可以倒转成它们自己或两个相等的圆（凯西1888年，第97-98页）。正交圆使转化到正交圆（科克塞特1969）。这个反转圆自身，与之正交的圆，和通过反演中心是不变的处于反转状态。此外，反转是一个保角的映射，因此保留了角度。

反转

反演将圆和线转换为圆或线（且反演是共形的）的特性使其成为平面解析几何的一个极其重要的工具。通过选择合适的反演圆，通常可以将一种几何构型转换为另一种更简单的构型，在这种构型中更容易进行证明。上图显示了几何反演结果的示例。

a的倒数圆圈属于半径 一具有中心 （x，y）相对于反转圆具有反演中心 （x0，y0）和反转半径 k个是另一个圆圈具有中心

x ^’=x0+s（x-x0）
(6)
是^'=y_0+s（y-y_0）
(7)

和半径

r^'=|s|a，
(8)

哪里

s=（k^2）/（（x-x0）^2+（y-y_0）^2-a^2）。
(9)

这些方程也可以自然地推广到三维空间中球体的反演。

检查器反向检查器

上图显示了棋盘以（0,0）为中心，围绕一个小圆圈的反方向也以（0,1）为中心（加德纳1984，第244-245页；Dixon 1991）。

另请参见

变形艺术，阿贝洛斯，圈功率，符合映射，自行车，Hexlet公司，反向曲线，反向点数，反转圆，反转操作，逆变极，反转半径，反转球体，反转（Inversive）距离，反转几何，限制点，中间圆，帕普斯链条，Peaucellier逆变器，置换反转，极地的，激进派线路，斯坦纳链，斯坦纳的色情

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参考文献

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参考Wolfram | Alpha

反转

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“反转。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Inversion.html

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