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整数三角形


具有以下特征的不同三角形的数量整数边长和周长 n个

T(n)=P(n,3)-sum_(1<=j<=|_n/2|)P(j,2)
(1)
=[(n^2)/(12)]-|_n/4_|_(n+2)/4_|
(2)
={[(n^2)/(48)]代表n偶数,
(3)

哪里P(n,k)配分函数给出数字写作方式n个正好是k个条款,[x]最近整数函数、和|_x个_|地板功能(安德鲁斯1979年,约旦等人。1979年,Honsberger 1985年)。A稍微复杂的闭合形式由下式给出

 T(n)=1/(288)[6n^2+18n-9(2n+3)(-1)^n-1+36sin(1/2引脚)-36cos(1/2引脚,+64cos(2/3引脚)]。
(4)

的值T(n)对于n=12, ... 分别是0、0、1、1、2、1、3、2、4、3、5、4、7、5、8、7、10、8、12、10、14、,12, 16, ... (组织环境信息系统A005044号),这也是阿尔金序列用两个开头的0填充。

这个生成函数对于T(n)由提供

G(x)=(x^3)/((1-x^2)(1-x*3)(1-x^4))
(5)
=sum_(n=0)^(infty)T(n)x^n
(6)
=x^3+x^5+x^6+2x^7+x^8+3x^9+。。。。
(7)

T(n)也满足了

 T(2n)=T(2n-3)=P(n,3)。
(8)

不知道三角形是否整数边,三角形中间带、和地区存在(尽管存在不正确的证据关于不可能在文献中)。然而,R.L。Rathbun、A.Kemnitz和R.H。布赫霍尔茨证明了有无穷多个三角形理性的侧面(赫伦三角形)带有 理性的 三角形中位数(盖伊,1994年)。


另请参见

阿尔金序列希罗尼亚三角海洛因四面体完美的长方体三角形三角形解剖

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Andrews,G.“关于整数边的分区和三角形的注释”阿默尔。数学。每月 86, 477, 1979.布赫霍尔茨,右侧。“完美的金字塔。”牛市。南方的。数学。Soc公司。 45353-368, 1992.盖伊,R.K。“带整数边的三角形,中间值,和面积。“§D21英寸未解决数论问题,第二版。纽约:Springer-Verlag,第188-190页,1994R.洪斯伯格。数学宝石III。华盛顿特区:数学。美国协会。,第39-47页,1985年。乔丹,J.H。;沃尔奇,R。;和Wisner,R.J。“带整数边的三角形。”阿默尔。数学。每月 86, 686-689, 1979.小E.佩格。“三角形”http://www.mathpuzzle.com/triangle.html.斯隆,新泽西州。答:。顺序A005044号/M0146号在“整数序列在线百科全书”中

引用的关于Wolfram | Alpha

整数三角形

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“整型三角形。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/IntegerTriangle.html

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