Hypersine（Hypersine）

超直线(-维度的正弦函数）是顶点角度属于一个-维度的平行尖或单工。如果内容的平行尖是以及在顶点相交的平行四边形的面是,然后是-维度的该顶点的正弦为

（1）

将平行四边形边缘的长度改变一个因子，将改变内容以相同的因素和内容除了一个方面外，所有方面都由同一个因素决定。因此，边长的变化会不影响右侧的值，正弦函数是独立的平行四边形边缘之间的角度，而不是长度。此外，平行四边形的所有顶点角的正弦是相同的，因为相反的面具有相同的内容，并且每对相反的面中的一个面相遇在每个顶点。如果我们在一个顶点上延伸面由此形成的顶点角具有相同的正弦简单地平移平行四边形的顶点角度。

的最大值-维度的正弦是一，当平行四边形是一个正交四边形并且它的所有顶角都是直角。的最小值-维度正弦为零，对于平行四边形或单纯形位于低维空间中，因此是退化的。如果单工直角（所有边都相互正交的角度），它是一个直角单纯形，以及除直角是一。这个-维度的任意顶点角的正弦-维右单纯形是与直角相对的面的内容相对。

The vertex simplex of a vertex of an-维平行四边形是以顶点为顶点的单纯形那个顶点和平行四边形的相邻顶点。它的内容（以及所有其他内容顶点单纯形）是平行四边形的内容除以。如果-维单纯形是，以及的内容顶点相交的面是，单纯形可以被视为顶点单纯形平行四边形的面，以及平行四边体的面的顶点单纯形关于同一个顶点。等式中的替换(1)给予

(2)

如果我们标记单纯形的剩余面，我们可以推导出

(3)

由于右手边与单纯形的哪个顶点无关，所以左手边对所有顶点都是一样的，所以存在正弦定律对于-维度的单纯形，使顶点的正弦与相反的内容之比facet对于所有顶点都是相同的。

对于椭圆或球面空间中的单纯形，单纯形顶点的正弦等于该顶点所在的极性单纯形的面的极性正弦是一根杆子。该面的边具有弧度的弧长，这是一个补充对应于顶角的面之间的二面角。使用这个，我们可以应用极单纯形面的极正弦公式的边来计算-面间二面角的维数正弦以那个角度相遇。如果面之间的二面角和是,然后

(4)

对于具有二面角的四面体,、和在顶点相交的面之间，我们有

(5)

平行四边形的含量等于极性正弦顶点角度和边以该角度相交。如果我们确定作为面顶角我们可以用平行四边形代替并取消边以获得

(6)

极正弦对于平行四边形的所有顶点都是相同的，并且它很容易从边缘之间的平面角计算出来-尺寸角。

在二维空间中-三角形顶点的维数正弦与顶点角度的正弦。在三维空间中-四面体顶角的维数正弦面角,、和在该顶点处由

(7)