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双曲柠檬酸函数

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通过类推柠檬酸函数,也可以定义双曲柠檬酸函数

阿奇辛赫勒姆克斯=整数0^x（1+t^4）^（1/2）dt
(1)
=x_2F_1（-1/2,1/4；5/4；-x^4）
(2)
弓形虫=int_x^1（1+t^4）^（1/2）dt
(3)
=_2F_1（-1/2,1/4；5/4；-1）-x_2F_1。
(4)

哪里_2F_1（a，b；c；z）是一个超几何函数.

让0<=θ<=π/2和0≤v≤1,然后写

（塔穆）/2=int_0^v（dt）/（平方（1+t^4））
(5)
=v_2F_1（1/4，1/2；5/4；-v^4），
(6)

哪里亩是通过设置获得的常数θ=π/2和v=1，由给出

亩=2/piK（1/（平方米（2）））
(7)
=（平方米（π））/（伽马^2（3/4）），
(8)

具有K（K）是一个完全椭圆积分第一类拉马努扬表明

2tan^（-1）v=θ+总和_（n=1）^infty（sin（2ntheta））/（ncosh（npi）），
(9)
1/8pi-1/2tan^（-1）（v^2）=sum_（n=0）^infty（（-1）^ncos[（2n+1）theta]）/（2n+1cosh[1/2（2n＋1）pi]）
(10)

和

ln（（1+v）/（1-v））=ln[tan（1/4pi+1/2theta）]+4sum_（n=0）^infty（（-1）^nsin[（2n+1）theta]）/（2n+1[e^（（2n=1）pi）-1]）
(11)

（伯恩特，1994年）。

另请参见

柠檬酸盐函数

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

伯恩特，B.C。拉马努扬的笔记本，第四部分。纽约：Springer-Verlag，第255-258页，1994年。

引用的关于Wolfram | Alpha

双曲柠檬酸函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“双曲柠檬酸函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HyperbolicLemniscateFunction.html

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