话题
搜索

超Kähler流形


超Kähler流形可以定义为黎曼流形属于 4个有三个协变地常数 正交的自同构我,J型,K(K)切线束哪一个满足四元数的身份

 I^2=J^2=K^2=IJK=-1,
(1)

哪里-1表示恒等式自同构的否定1=id在切线束上。术语hyper-Kähler有时是写的时候没有连字符(如hyperKähler公司)或不带资本化(如hyperkähler公司).

这个定义相当于文献中常见的其他几个定义;的确,a歧管 M^(4n)称为hyper-Kähler,当且仅当:

1米是一个全形地 辛的 卡勒歧管,带全能学在里面转速(n).

2米是一个全形地 辛的 卡勒歧管Ricci公寓(即零标量曲率.

上述等价中的第一个是指Berger对黎曼流形的完整群的分类,并暗示平行迁移保持不变我,J型,K(K).本标准和上述等效标准第二部分中列出的标准用于区分hyperkähler流形和类似名称的流形四元数卡勒歧管具有非零Ricci曲率,通常不属于Kähler。

超kähler流形是必要的Calabi-Yau歧管和是爱因斯坦流形具有常数0。

一般来说,自同构一、 J,K:TM->TM假设为可积的.这三个人的存在复杂结构诱导三个卡勒2型 欧米伽_i,i=1,2,3,在米,即

 ω_1(X,Y)=g(IX,Y),
(2)
 ω_2(X,Y)=g(JX,Y,
(3)

 ω_3(X,Y)=克
(4)

为所有人十、 TM中的Y在这里,克卡勒/黎曼度量米如上述两个等效定义所示,hyperkähler流形是全形辛的,即它们具有全纯的辛2-形式由以下各项引起我,J型、和K(K)例如,2表格欧米茄_+表单的

 ω_+(X,Y)=ω_2(X,Y+ω_3(X,Y-)
(5)

是全纯的和辛的(男,女)(其中我表示标准想像的单元). Calabi证明了一个偏逆,它说紧致全纯辛Kähler流形承认关于任何卡勒形式。

全部为偶数-维度的复杂的向量空间托里岛都是超Kähler。更多示例包括四元数H=H^4,的余切束 T^*CP^n公司属于n个-维度的复射影空间,K3公司曲面,希尔伯特方案紧上的点超kähler 4-流形,以及广义的库姆品种以及各种模空间,解决方案空间纳姆方程、和中岛箭矢品种.


另请参见

爱因斯坦流形,扁平歧管,卡勒,四元数卡勒歧管,黎曼流形,辛流形

此条目由贡献克里斯托弗斯托弗

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Hitchin,N.“Hypkerkähler流形”Séminaire N.Bourbaki公司 748, 137-166, 1991-1992.Verbitsky,M.“Hyperkähler”流形:卡勒流形和完整群。“2013年a。http://verbit.ru/MATH/TALKS/SPB-2013/hk-1.pdf.维尔比茨基,M.“Hyperkähler流形:Calabi-Yau定理、Bochner消失和Hodge理论。“2013年b。http://verbit.ru/MATH/TALKS/SPB-2013/hk-2.pdf.韦比茨基,“Hyperkähler流形:数学和物理中的同调”2013年c。http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/2013/Cohomology/verbitsky3.pdf.

引用如下:

克里斯托弗·斯托弗《超Kähler流形》摘自数学世界--Wolfram Web资源,创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/Hyper-KaehlerManifold.html

主题分类