霍普夫代数

给定一个交换环 ，一个R-代数 是一个Hopf代数，如果它有以下给定的附加结构-代数同态

(复制)和

(科尼特)和一个R模块同态

满足属性的（对极）

1联合性:

2礼节:

3.抗足类特性：

哪里身份图在上面吗,是乘法在里面、和是-的代数结构图也称为单位图。

法迪布鲁诺公式可以在Hopf代数的特例框架中进行转换（Figueroa和Gracia-Bondia2005).

联合性意味着上面的图表会相互转换，这意味着如果箭头颠倒并且被交换了,说明内部乘法关联性的图表将获得。从那以后嵌入接地环 进入之内，counit地图进入之内.协调性性质类似地是满足的对偶性质通过.带有和，代数变成双代数，但它是加法制造的对极霍普夫代数。对极应该被认为是反极在与内部存在的相似一个群，对极是代数和co-代数层次上的反同态，意思是

哪里,这就是所谓的切换图。此外，与组中的逆运算一样，在许多情况下，对极是对合。

Hopf代数的原型示例如下群环，其中是一个有限群和是通过的Hopf代数

对于并通过线性扩展到所有属于.

对于一般Hopf代数，乘法是用Sweedler符号给出的。那就是，如果然后

通过协联性实现

写得明确无误。

通过对代数之间的区别进行对偶，Hopf代数可以分为不同的类型。例如，如果是可交换的，这相当于说满足以下属性哪里是上面提到的切换图。同样，Hopf代数如果也就是说，如果上面的图表相互转换。此外，交换性和共交换性是独立的属性，因此Hopf代数可以被认为满足其中一个或另一个，或两者都满足，或两者均不满足。

此外，正如代数的线性对偶是代数一样，Hopf代数的对偶也是代数也是一个Hopf代数，其中成为、vice-versa和的对极转换为对极以规范的方式。