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同伦群


同伦群推广了基本群从更高维度的球体映射,而不是从圆映射。这个n个a的第个同伦群拓扑空间 X(X)是一组同伦类的地图n个-球体X(X),带有结构,并且是表示像素_(X).这个基本群像素_1(X)和,如pi_1、地图序号->X必须通过基点 X中的p。对于n> 1个,同伦群像素_(X)是一个阿贝尔群.

赤道到基点的映射

组操作不像基本群体考虑两张地图a: 序号->Xb: 序号->X,通过X中的p.产品a*b:S^n->X通过将赤道映射到基点 第页然后绘制北半球地图通过将赤道塌陷到一个点,将其映射到球体X(X)通过一南半球的地图类似于X(X)通过b条上图显示了两个球体的乘积。

同伦到身份映射

标识元素由常量映射表示e(x)=p.基本回路方向的选择组对应于歧管方向属于序号在同伦群中。因此,映射的逆运算一通过切换球体的方向给出。通过描述中的球体n+1坐标,切换第一个和第二个坐标会更改球体。或者作为超曲面,S^n子集R^(n+1),切换方向会颠倒角色内部和外部。上图显示a*-a与常数映射同伦,即恒等式。从赤道扩张开始a*-a,然后将结果映射收缩到基点.

同伦与基点无关

基本群,同伦群不依赖于基点。但是高同伦群总是阿贝尔(Abelian). The上图显示了以下示例a*b=b*a. The基点是固定的,而且因为n> 1个地图可以旋转。什么时候?n=1,即基本的,不可能在保持基点固定的。

带有的空间pi_i=0为所有人i<=n被称为n个-已连接。如果X(X)n-1个-已连接,n> 1个,然后是Hurewicz公司同态 pi_n(X)->H_n(X)来自n个th-homotopy公司组到n个卫生学组是一个同构.

什么时候?f: X->Y是一个连续映射,然后f_*:pi_n(X)->pi_n通过在以下位置拍摄图像来定义(f)中的球体X(X).推进是自然的,即。,(f度g)_*=f_*度g_*每当两个映射已定义。事实上,给定一个纤维化,

 F->E->B

哪里B类路径连接的,有一个长的精确序列同伦群的

 …->pi_n(F)->pi-n(E)->pi_n(B)->pi_(n-1)(F)->…->pi_0(B)=0。

另请参见

阿贝尔集团,同伦群,弗洛伊登塔尔悬置定理,基本类,同源,同伦,同伦切除术,同伦理论,Hurewicz公司同态,超球体,,相对同伦群,等效性

此条目由贡献托德罗兰

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M·奥布里。同伦理论和模型。马萨诸塞州波士顿:Birkhäuser,1995年。

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同伦群

引用如下:

托德·罗兰.“同伦群”。摘自数学世界--Wolfram Web资源,创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/HomotopyGroup.html

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