二阶线性厄米算子是操作人员 满足
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哪里表示复共轭。如所示Sturm-Liouville理论,如果是自共轭并满足边界条件
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那么它就自动成为埃尔米特人。
Hermitian运营商真实的 特征值,正交的 本征函数,和相应的本征函数表格a完全双正交系统什么时候是二阶线性的。
请注意,埃尔米特算子的概念在量子力学中被扩展到既不需要二阶微分也不需要实数的算子。简单地假设边界条件在无穷大附近足够强地消失,或具有周期性行为允许操作员从广义上说,如果
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这与之前的定义相同,只是数量被扩展为复杂量(Arfken 1985,第506页)。
为了证明这一点特征值必须是真实的和本征函数 正交的,考虑
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假设有第二个特征值 这样的话
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现在乘法(4)由和(6)由
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现在集成
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但是因为是赫密特人,左边消失了。
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如果特征值 和不是退化的,所以本征函数是正交的。如果特征值是退化的本征函数不一定是正交的。现在接受.
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积分不能消失,除非,所以我们有和特征值都是真实的。
对于Hermitian操作员,
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在积分表示法中,
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给定厄米特操作员和,
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因为,对于一个赫密特人来说具有特征值 ,
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因此,要么或.但是 若(iff) ,所以
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对于一个不平凡的人本征函数。这意味着,也就是说,赫米特运营商生产真实的期望值。因此,每个可观察到的物体都必须有一个对应的厄米算符。此外,
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自从.然后
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对于(即。,),
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对于(即。,),
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因此,
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所以本征函数对应于一名赫密特操作员标准正交.
定义伴随操作人员(也称为厄米共轭算子)
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对于一名赫密特操作员,
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此外,给定两个厄米算子和,
所以
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通过进一步迭代,这可以推广到
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给定两个Hermitian运算符和,
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操作员等于,因此,只有当
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给定任意运算符,
所以是埃尔米特人。
所以是赫密特人。同样,
所以是赫密特人。
另请参见
伴随词,厄米特矩阵,自伴随,刘维尔理论
与Wolfram一起探索| Alpha
工具书类
Arfken,G.“Hermitian(自伴)算子”,第9.2节数学物理学家方法,第三版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,第504-506页和510-516,1985年。参考Wolfram | Alpha
Hermitian操作员
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Hermitian操作员。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HermitianOperator.html
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