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Hermitian操作员


二阶线性厄米算子是操作人员 L(左)^~满足

 int_a^bv^_L^~udx=int_a^buL^~v^_dx。
(1)

哪里z(z)^_表示复共轭。如所示Sturm-Liouville理论,如果L(左)^~自共轭并满足边界条件

 v^_pu^'|_(x=a)=v^_pu ^'|__(x=b),
(2)

那么它就自动成为埃尔米特人。

Hermitian运营商真实的 特征值正交的 本征函数和相应的本征函数表格a完全双正交系统什么时候L(左)^~是二阶线性的。

请注意,埃尔米特算子的概念在量子力学中被扩展到既不需要二阶微分也不需要实数的算子。简单地假设边界条件在无穷大附近足够强地消失,或具有周期性行为允许操作员L(左)^~从广义上说,如果

 intpsi^__1L^~psi_2dtau=intL^~psi_1^_psi_2dtau,
(3)

这与之前的定义相同,只是数量被扩展为复杂量(Arfken 1985,第506页)。

为了证明这一点特征值必须是真实的本征函数 正交的考虑

 L^~u_i+lambda_iwu_i=0。
(4)

假设有第二个特征值 λ_j这样的话

 L^~u_j+λ_jwu_j=0
(5)
 L^~u^__j+λ^__jwu^_j=0。
(6)

现在乘法(4)由u^__j和(6)由u _ i

 u^__jL^~u_i+u^_jlambda_iwu_i=0
(7)
 u_iL ^~u^__j+u_ilamda^__jwu^_j=0
(8)
 u^__jL^~u_i-u_iL^~u ^__j=(lambda^__j-lambda_i)wu_iu^_j。
(9)

现在集成

 int_a^bu^__jL^~u_i-int_a^bu_iL^~u ^__j=(λ^__j-lambda_i)int_a^bwu_iu^_j。
(10)

但是因为L(左)^~是赫密特人,左边消失了。

 (λ^__j-lambda_i)int_a^bwu_iu^__j=0。
(11)

如果特征值 λ_iλ_j不是退化的int_a^bwu_iu^__j=0,所以本征函数正交的。如果特征值是退化的本征函数不一定是正交的。现在接受i=j.

 (λ^__i-lambda_i)int_a^bwu_iu^__i=0。
(12)

积分不能消失,除非u_i=0,所以我们有λ^__i=λ_i特征值都是真实的。

对于Hermitian操作员哦^~

 <phi|O^~psi>=。
(13)

在积分表示法中,

 intA^~phi^_psidx=intphi^_A^~psidx。
(14)

给定厄米特操作员A类^~B类^~

 <phi|A^~B^~psi>=<A^~phi|B^~psi>=<B^~A^~psi>=<phi|B~A^~ psi>^_。
(15)

因为,对于一个赫密特人来说A类^~具有特征值 一

 <psi|A^~psi>=<A^~psi
(16)
 a<psi|psi>=a^_<psi| psi>。
(17)

因此,要么<psi|psi>=0a=a^_.但是<psi|psi>=0 若(iff) psi=0,所以

 <psi|psi>=0中,
(18)

对于一个不平凡的人本征函数。这意味着a=a^|也就是说,赫米特运营商生产真实的期望值。因此,每个可观察到的物体都必须有一个对应的厄米算符。此外,

 <psi_n|A^~psi_m>=
(19)
 a_m<psi_n|psi_m>=a^_n,
(20)

自从a_n=^__n.然后

 (a_m-a_n)<psi_n|psi_m>=0
(21)

对于嗯=a_n(名词)(即。,psi_n=磅/平方米),

 <psi_n|psi_m>=0。
(22)

对于a_m=a_n(即。,psi_n=磅/平方米),

 <psi_n|psi_m>=<psi_n|psi_n>=1。
(23)

因此,

 <psi_n|psi_m>=增量(nm),
(24)

所以本征函数对应于一名赫密特操作员标准正交.

定义伴随操作人员一个^~^|(也称为厄米共轭算子)

 <A^~psi|psi>=<psi|A^~^|psi>。
(25)

对于一名赫密特操作员,

 A^~=A^~^|。
(26)

此外,给定两个厄米算子A类^~B类^~

<psi_2|(A^~B^~)^|psi_1>=<(A^~B^~)psi_2|psi_1>
(27)
=<B^~psi_2|A^~^|psi_1>
(28)
=<psi_2|B^~^|A^~^| psi_1>,
(29)

所以

 (A^~B^~)^|=B^~^|A^~^|。
(30)

通过进一步迭代,这可以推广到

 (A^~B^~…Z^~)^|=Z^~^|。。。B^~^|A^~^|。
(31)

给定两个Hermitian运算符A类^~B类^~

 (A^~B^~)^|=B^~^|A^~^|=B^~A^~=A^~B ^~+[B^~,A^~],
(32)

操作员A^~B级^~等于(A^~B^~)^|因此,只有当

 [B^~,A^~]=0。
(33)

给定任意运算符A类^~

<psi_1|(A^~+A^~^|)psi_2>=<(A^~^|+A^~)psi_1|psi_2>
(34)
=<(A^~+A^~^|)psi_1|psi_2>时,
(35)

所以A^~+A^~^|是埃尔米特人。

<psi_1|i(A^~-A^~^|)psi_2>=<-i(A^~^|-A^~)psi_1|psi_2>
(36)
=<i(A^~-A^~^|)psi_1|psi_2>时,
(37)

所以i(A^~-A^~^|)是赫密特人。同样,

<psi_1|(A^~A^~^|)psi_2>=<A^~^|psi_1|A^~|psi_2>
(38)
=<(A^~A^~^|)psi_1|psi_2>时,
(39)

所以A ^~A^~^|是赫密特人。


另请参见

伴随词厄米特矩阵自伴随刘维尔理论

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Arfken,G.“Hermitian(自伴)算子”,第9.2节数学物理学家方法,第三版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,第504-506页和510-516,1985年。

参考Wolfram | Alpha

Hermitian操作员

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Hermitian操作员。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HermitianOperator.html

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