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Hermite-Gauss正交

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Hermite-Gauss求积，也称为Hermite求积，是一个高斯求积在间隔期间（-infty，infty）具有加权功能 W（x）=e^（-x^2）（Abramowitz和Stegun 1972年，第890页）。这个横坐标对于正交订单n个由根给出x _ i的厄米特多项式 H_n（x）,其关于0对称地出现。这个重量是

加权（_i）=-（A_（n+1）γ_n）/（A_nH_n^'（x_i）H_（n+1）（x_i））
（1）
=（A_n）/（A_（n-1）），
(2)

哪里自动（_n）是系数属于x ^n个在里面H_ n（x）。对于厄米特多项式,

A_n=2^n，
(3)

所以

（A_（n+1））/（A_n）=2。
（4）

此外，

gamma_n=sqrt（pi）2^nn！，
(5)

所以

加权（_i）=-（2^（n+1）n！平方（pi））/（H_（n+1）（x_i）H_n^'（x_i））
(6)
=（2^n（n-1）！平方（pi））/（H_（n-1）（x_i）H_n^'（x_i））
(7)
=（2^（n+1）n！平方（pi））/（[H_n^'（x_i）]^2）
(8)
=（2^（n+1）n！平方（pi））/（[H_（n+1）（x_i）]^2）
(9)
=（2^（n-1）n！平方（pi））/（n^2[H_（n-1）（x_i）]^2），
(10)

其中(8)和(9)使用重现关系

H_n^'（x）=2nH_（n-1）（x）=2xH_n（x）-H_（n+1）（x
(11)

以获得

H_n^'（x_i）=2nH_（n-1）（x_i）=-H_（n+1）（x_ i），
(12)

和(10)摘自阿布拉莫维茨和斯特根（1972年，第890页）。

错误术语为

E=（n！sqrt（pi））/（2^n（2n）！）f^（2n））（xi）。
(13)

Beyer（1987）给出了一个表横坐标重量不超过n=12.

n个x _ i加权（_i）
2+/-0.7071070.886227
三01.18164
+/-1.224740.295409
4+/-0.5246480.804914
+/-1.65068个0.0813128
500.945309
+/-0.9585720.393619
+/-2018年2月0.0199532

这个横坐标重量可以用解析法计算n个.

n个x _ i加权（_i）
2+/-1/2节（2）1/2平方（pi）
三02/3sqrt（圆周率）
+/-1/2节（6）1/6平方米（pi）
4+/-平方米（（3平方米（6））/2）（平方米（pi））/（4（3平方米（6）））
+/-平方米（（3+平方米（6））/2）（平方米（π））/（4（3+平方米（6）））

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参考文献

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，第890页，1972年。Beyer，W.H。CRC公司标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第464页，1987希尔德布兰德，F.B。介绍数值分析。纽约：McGraw-Hill，第327-330页，1956年。

引用的关于Wolfram | Alpha

Hermite-Gauss正交

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Hermite-Gauss正交。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Hermite-GaussQuadrature.html

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