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亥姆霍兹微分方程——笛卡尔坐标

二维笛卡尔坐标,尝试变量分离通过写作

F（x，y）=x（x）y（y），
(1)

然后亥姆霍兹微分方程成为

（d^2X）/（dx^2）Y+（d^2）/（dy^2）X+k^2XY=0。
(2)

将两边分开XY公司给予

1/X（d^2X）/（dx^2）+1/Y（d^2）/（dy^2）+k^2=0。
(3)

这导致了两个带有分离常数的耦合常微分方程平方米,

1/X（d^2X）/（dx^2）=平方米
(4)
1年1月（日期^2年）/（日期^2年）=-（m^2+k^2），
(5)

哪里X（X）和Y（Y）可以根据边界条件互换。这些有解决方案

X（X）=A _我（mx）+B _我（-mx）
(6)
Y（Y）=C_me^（isqrt（m^2+k^2）y）+D_me^（-isqrt（m ^2+k ^2）y）
(7)
=E_msin（平方（m^2+k^2）y）+F_mcos（平方（sqrt（m^2+k^1）y）。
(8)

一般的解决方案是

F（x，y）=总和（m=1）×[E_msin（平方（m^2+k^2）y）+F_mcos（平方（sqrt（m^2+k^1）y）]。
(9)

在三维中笛卡尔坐标,尝试变量分离通过写作

F（x，y，z）=x（x）y（y）z（z），
(10)

然后亥姆霍兹微分方程成为

（d^2X）/（dx^2）YZ+。
(11)

将两边分开XYZ（XYZ）给予

1/X（d^2X）/（dx^2）+1/Y（d^2）/（dy^2）+1/Z（d^2AZ）/（dz^2）+k^2=0。
(12)

这导致了三个耦合的微分方程

1/X（d^2X）/（dx^2）=l^2号
(13)
1年1月（日期^2年）/（日期^2年）=平方米
（14）
1/Z（d^2Z）/（dz^2）=-（k^2+l^2+m^2），
(15)

哪里X（X）,Y（Y）、和Z轴可以根据边界条件进行排列。将军因此，解决方案是

F（x，y，z）=sum_（l=1）^inftysum_（m=1）×（E_（lm）E^（-isqrt（k^2+l^2+m^2）z）+F_（lm。
（16）

另请参阅

笛卡尔坐标,亥姆霍兹微分方程

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莫尔斯，P.M。和Feshbach，H。理论物理方法，第一部分。纽约：McGraw-Hill，第501-502页，513-514和6561953年。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《亥姆霍兹微分方程——笛卡尔坐标》摘自数学世界--一只狼Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HelmholtzDifferentialEquationCartesian坐标.html

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