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格林函数——泊松方程

泊松方程是

del ^2φ=4皮里奥，
(1)

哪里φ通常称为势函数ρ密度函数，所以这里的微分算子案例是L^~=del^2.像往常一样，我们正在寻找格林函数G（r_1，r_2）这样的话

del^2G（r_1，r_2）=δ^3（r_1-r_2）。
(2)

但是来自拉普拉斯算子,

del^2（1/（|r-r^'|））=-4pidelta^3（r-r^'），
（3）

所以

G（r，r^'）=-1/（4pi|r-r^'|），
(4)

解决方案是

φ（r）=整数G（r，r^'）[4pirho（r^'。
(5)

扩大G（r_1，r_2）在中球形的谐波 Y_l^m年给予

G（r1，r2）=sum_（l=0）^inftysum_（m=-l）^l1/（2l+1）（r<^l）/（r>^（l+1））Y_l^m（theta_1，phi_1）Y^_l^ m（theta _2，phi_2），
(6)

哪里第页_<和r_>是大于/小于符号.此表达式简化为

g（r1，r2）=1/（4pi）总和（l=0）^系数（r<^l）/（r>^（l+1））p_l（cosgamma），
(7)

哪里p_1是勒让德多项式、和cosgamma=r1·r2.方程式(6)和(7)给出的加法定理勒让德多项式.

在柱坐标，格林家族功能要复杂得多，

G（r_1，r_2）=1/（2pi^2）sum_（m=-infty）^inftyint_0^inftyI_m（krho_<）K_m（krho_>）e^（im（phi_1-phi_2））cos[K（z_1-z_2）]dk，
(8)

哪里I _ m（x）和千米（x）是修正贝塞尔函数第一个和第二种类（阿夫肯1985）。

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阿夫肯，G。物理学家数学方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第485-486页，905和9121985年。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《格林函数——泊松方程》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GreensFunctionPoissonsEquation.html

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