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格林函数


绿色功能点置换

一般来说,格林函数是积分核可以用来解决有差别的方程从大量的族中,包括更简单的示例,例如常微分方程具有最初的边界价值条件以及更困难的示例,如非均质偏微分方程(PDE)带有边界条件。由于多种原因,格林的功能允许对于与力源或电荷集中在某一点(秦2014),因此它们在应用数学领域。尤其是格林函数方法用于物理和工程等领域。

更准确地说,给定一个线性的 微分算子 L=L(x)代理收款分配超过子集 欧米茄其中一些欧几里德空间 R^n(R ^n),格林函数G=G(x,s)指向 在欧米茄对应于L(左)是任何解决方案

 LG(x,s)=δ(x-s)
(1)

哪里三角洲表示delta函数.动机定义这样的函数很普遍,但通过将上述恒等式乘以一个函数f(s)集成关于秒产量

 intLG(x,s)f(s)ds=intdelta(x-s)f。
(2)

右侧仅减少至f(x)由于delta函数的特性,以及因为L(左)是仅作用于的线性运算符x个而不是打开秒,左侧可以重写为

 L(整数G(x,s)f(s)ds)。
(3)

当解决u=u(x)形式的微分方程

 Lu(x)=f(x),
(4)

上面的算法证实了

 Lu(x)=L(整数G(x,s)f(s)ds)
(5)

由此而来u个具有特定的积分形式

 u(x)=整数G(x,s)f(s)ds。
(6)

上图说明了格林函数的直观物理解释以及一个相对简单的相关微分方程比较上述定义(Hartmann 2013)。特别是,它显示了一条绷紧的绳子长度的我悬挂在两堵墙之间,通过相同的水平力固定到位H(H)在其每一端施加,以及负载F类放置在某个内部点x个在绳子上。x ^’是对应于的点x个在偏转的绳子上,假设向下的力F类是恒定的,比如说F=1,并让u(x)表示绳索的挠度。与此相对应物理系统是微分方程

 -胡^('')(x)=F(x)
(7)

对于0<x<l具有u(0)=u(l)=0,一个既简单又能解决问题的系统u(x)及其格林函数G(x,y)明确写入:

 u(x)=F/(2H)(lx-x^2)
(8)

 G(x,y)=1/(Hl){y(l-x)对于y<=x;x(l-y)对于x<=y,
(9)

分别是。如上图所示,移位的绳索具有分段线性格式由提供G=G(x,y)从而证实了Green的功能G公司与此系统关联表示与施力相对应的水平绳索的作用F类.

采用一对参数的格林函数(x,s)有时被称为两点格林函数。这与特别重要的多点格林函数形成对比在多体理论领域。

作为上述两点函数的基本示例,考虑确定电位的问题磅/平方英寸(转)由电荷密度为ρ(r),从而应用泊松方程库仑定律对电势的影响第1段由每个电荷元素产生ρ(r2)d^3r2产生解决方案

 psi(r1)=1/(4piepsilon0)intd^3r2(rho(r2))/(r1-r2|)
(10)

在某些条件下,该区域ρ(r2)=0。因为右侧可以被视为积分算子转换ρ进入之内磅/平方英寸,可以根据格林函数重写此解G=G(r_1,r_2)拥有表单

 G(r_1,r_2)=1/(4piepsilon_0)1/(|r_1-r_2|),
(11)

由此可以重写解决方案:

 psi(r1)=整数^3r_2G(r1,r2)rho(r2)
(12)

(阿夫肯,2012年)。

绿色功能示例

上图显示了与磅/平方英寸-ρ上面讨论的等式,这里,ε_0=4第1段分别为第2段,绘制在x个-分别为年-,轴。

Kevin Cole(Cole 2000)在线维护了与各种微分方程相对应的格林函数的比较全面的列表。

由于有关格林函数的文献众多,可能会出现几种不同的符号和定义,其中一些在主题上与但这一般不会影响结果的重要性质。例如,正如上面的示例所示,一些作者喜欢表示变量x个秒就矢量而言第1段第2段强调它们是R^n(R ^n)对一些人来说n个可能大于1(Arfken 1985)。它也是相对的常见的是看到带负号的定义,因此G公司定义为函数

 LG(x,s)=-δ(x-s),
(13)

但由于这种纯粹的物理考虑对基础数学没有影响,这一观点通常被忽视了。其他几个已知格林函数也有符号,其中一些包括小写的使用g=克(x,s)代替G(x,s)(Stakgold 1979)以及包含垂直线而不是逗号,例如。,G(x,s)=G(x|s)(达菲2001)。

在其他情况下,文献给出的定义与它们出现的上下文密切相关。例如,一些作者定义了格林函数是满足一定条件的函数,例如存在性关于一类特殊的域,与一个非常特殊的微分算子的关联L(左),或满足一组精确的边界条件。最常见的此类示例之一可以在注释中找到,例如,Speck,其中Green函数被定义为满足增量_ sG(x,s)=增量(x)对于点Omega中的(x,s)×OmegaG(x,σ)=0对于所有点西格玛位于边界上局部欧米茄属于欧米茄(Speck 2011)。这个特殊的定义表示一个积分广义解对应的核泊松方程式因此,在适应更一般的设置。另一方面,这样的例子并非没有好处。例如,在上述广义泊松示例中,每个这样的格林函数功能G公司可以拆分,以便

 G(x,s)=G_f(x,s)+u_R(x,秒)
(14)

哪里-Deltag_f(x,s)=增量(x-s)-Deltau_R(x,s)=0对于普通人拉普拉斯语 Delta=增量(哈特曼2013)。在这种情况下,g_f=g_f(x,s)被称为底层的基本解决方案微分方程和u_R=u_R(x,s)称为正则解;像这样的,g _ fu_R(u_R)有时被称为G公司分别是。

一般格林函数的几个基本性质直接(或几乎如此)遵循其定义,并延续到所有特定实例。例如,如果内核操作员的L(左)是非平凡的,那么可能有几个格林函数与单个操作员关联;因此,在提及时必须谨慎到格林函数。格林函数满足伴随 对称在他们的两个论点中

 G(x,s)=G^*(s,x)
(15)

在这里,G公司^*定义为方程的解

 L^*G^*(s,x)=增量(x-s)。
(16)

在这里,我^*是的伴随词L(左).这一事实的一个直接推论是:自共轭操作员L(左),G公司对称:

 G(x,s)=G(s,x)。
(17)

这个恒等式通常被称为互惠原则,从物理意义上说x个由单位电源引起秒与上的响应相同秒由于单位力x个(斯塔克戈尔德,1979年)。

任何格林函数的基本性质都是它提供了一种描述任意微分方程解对某种源的响应的方法存在一些边界条件时的项(Arfken等。2012).一些作者认为格林函数在偏微分方程理论傅里叶系列常微分方程的求解(Mikula和Kos,2006)。

对于更抽象的场景,存在许多概念,这些概念与格林函数的概念类似。例如,在功能性的分析,考虑一个所谓的广义格林函数通常是有用的当抽象地与之集成时,它具有许多类似的属性工作人员而不是函数。事实上,这样的概括得出了一个完全类似的结论理论PDE分析的分支,本身就是大量研究的重点研究。


另请参见

格林函数——亥姆霍兹微分方程,格林的函数——泊松方程,黎曼方法

此条目由贡献克里斯托弗斯托弗

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Arfken,G.“非齐次方程——格林函数”、“格林函数——一维”和“格林函数二和三维。“§8.7和§16.5-16.6数学物理学家方法,第三版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,第480-491页和897-9241985年。Arfken,G.B。;韦伯,H。;和Harris,F.E。数学物理学家方法,第7版:综合指南。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,2012年。科尔,K.D。《格林函数库》,2000年。http://www.greensfunction.unl.edu/home/index.html.科尔,K.D.公司。;贝克·J·V。;Haji-Sheikh,A。;和Litkouhi,B。热量使用格林函数的传导,第2版。佛罗里达州博卡拉顿:泰勒&弗朗西斯,2011年。达菲,D.G。格林的带应用程序的功能。佛罗里达州博卡拉顿:查普曼和霍尔/CRC,2001年。哈特曼,F、。格林的函数和有限元。德国海德堡:Springer-Verlag,2013年。米库拉,使用GNU科学库进行温度计算超大规模集成电路系统。" 2006.http://www.scalak.elektro.agh.edu.pl/files/mikula_kos_nti_green.pdf.秦,Q.“热载荷下磁电弹性板的格林函数”百科全书热应力。荷兰:施普林格荷兰,第2096-2103页,2014Speck,J.《基本解与格林函数》18.152-PDE简介。麻省理工学院开放课程,2011年。http://math.mit.edu/~jspeck/18.152_Fall2011/讲座%20notes/18152%20讲座%20notes%20-%207.pdf.斯塔克戈尔德,一、。格林函数与边值问题。纽约:威利出版社,1979年。

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引用如下:

克里斯托弗·斯托弗。“格林函数”。摘自数学世界--Wolfram Web资源,创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/GreensFunction.html

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