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图形距离矩阵


图形距离矩阵,有时也称为全对最短路径矩阵,是正方形矩阵 (d(ij))包括所有图表距离从顶点v_i到顶点v_j(_j)图的距离矩阵是由Graham引入的和波拉克(1971)。

这个意思是(连通)图中所有距离的总和称为图的平均距离.最大值在所有距离矩阵元素中,称为图表直径.

这个特征多项式图的距离矩阵称为距离多项式的.

图形距离矩阵可以在Wolfram语言使用内置函数图形距离矩阵[],和许多命名图的预计算距离矩阵可以使用图形数据[图表,“距离矩阵”].

图形距离矩阵无解

对于连通图n个顶点,线性方程组

 Dx=1,
(1)

哪里D类是距离矩阵1是包含以下内容的向量n个1的,往往对“大多数”图形有一个真正的解决方案(斯坦伯格2022)。例外情况包括完整k个-分部图K_(1,1,1,4)K_(1,1,1,1,3),“双pac-man图”7×7 骑士图表和14节点三次曲线图#52和11节点四次曲线图#18(在编号中图形数据).的数量连通图没有解决方案上的上述方程式n=1, 2, ... 节点为1、0、0、0、0、2、14、398、23923。。。(组织环境信息系统A354465型). 杜达洛夫等。(2023)证明了这样的图对所有人都存在n> =7.

图形距离矩阵无解决方案树

前几个“一个向量不在距离矩阵图像图中”也是k树(发生于n=1、7和8个节点)如上图所示。8节点图#1和2是2棵树,而8节点图#13是4棵树(E.Weisstein,2024年1月18日)。

实特征向量v(v)与最大特征值相关联的非负项(由佩伦·福布尼乌斯(Perron-Frobenius)定理)几乎是恒定的,因为内部的产品满足

 <v,1>>=(||v||_(l^2)·||1|_(l ^2))/(平方码(2)),
(2)

哪里||v||_(l^2)l^2号-规范(斯坦伯格2022)。然而,距离的Perron-Frobenius特征向量中数千连通图的矩阵图形数据给出平均值<v,1/sqrt(n)>接近0.996与…相反2^(-1/2)约0.7071.这可能发生的条件正如斯坦纳伯格(2023)所指出的,“真实”显然是一个公开的问题。然而,已知某些族极限情况的精确值,例如。,

 lim_(n->infty)<v(P_n),(1)/(sqrt(n))>=(sqert(2)sinhc)/。。。
(3)

对于路径图 P_n(_n),其中c(c)是的正根辛烷值=1(Ruzieh and Powers 1990,Steinerberger 2023),以及

 lim_(n->infty)<v(S_n),(1)/(sqrt(n))>=平方(1/2+1/(squart(5)))=0.973。。。
(4)

对于太阳图 S_n(_n)(斯坦伯格2023)。这些考虑与图曲率的定义。


另请参见

全对最短路径,对足图,距离向量算法,迂回矩阵,Dijkstra的算法,距离多项式,弗洛伊德算法算法,大地测量图,图表直径,图形距离,图表测地线,骚扰指数,最长的路径,平均距离,最短的路径,最短路径问题

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工具书类

图的距离谱:综述线性代数应用。 458, 301-386, 2014.巴拉吉,R.和Bapat,R.B。“关于欧几里德距离矩阵。”线性代数申请。 424<108-1172007年。巴帕特,R.B。第3章在里面图和矩阵。印度新德里:施普林格出版社,2010年。魔鬼,J.和Balaban,A.T。(编辑)。拓扑QSAR和QSPR中的索引和相关描述符。荷兰阿姆斯特丹:Gordon和Breach,第76-802000页。杜达洛夫,W。;Feinberg,N。;郭,R。;Goh,A。;奥托里尼,A。;史蒂芬·A。;特里帕蒂,R。;和Zhang,J.“关于图像图距离矩阵。“2023年7月10日。https://arxiv.org/abs/2307.04740.格雷厄姆,共和国。;和俄亥俄州波拉克。“关于循环切换的寻址问题。”贝尔系统。技术J。 50, 2495-2519, 1971.Hakimi,S.L。;和Yau,S.S。“图的距离矩阵及其可实现性。”夸脱。J.应用。数学。 22, 305-317, 1965.Ruzieh,S.和权力,D.L。“路径的距离谱P_n(_n)连通图的第一距离特征向量。"线性多线性代数 28, 75-81, 1990.新泽西州斯隆。答:。顺序A354465型在线百科全书整数序列的。"Steinerberger,S.“第一特征向量距离矩阵的近似常数。"光盘。数学。 346, 113291,2023

参考Wolfram | Alpha

图形距离矩阵

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“图形距离矩阵。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GraphDistanceMatrix.html

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