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Golomb-Dickman常数

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让圆周率成为排列属于n个元素，并让字母_i是的数字排列循环长度的我在这个排列.拣选圆周率在随机的，随机的事实证明

<sum_（j=1）^（infty）alpha_j>=总和_（i=1）^（n）1/i
(1)
=H_n（H_n）
(2)
=lnn+γ+O（1/n）
(3)
var（总和（j=1）^（输入）字母j）=总和（i=1）^（n）（i-1）/（i^2）
(4)
=H_n-H_（n，2）
(5)
=lnn-n+gamma-1/2-1/6pi^2+O（1/n）
（6）

（Shepp and Lloyd 1966，Wilf 1990），其中H_n（H_n）是一个谐波数和H_（n，r）是一个广义调和数。

此外，

lim_（n->infty）P（alpha_1=0）=1/e
(7)

（Shepp and Lloyd 1966，Wilf 1990）。Goncharov（1942）表明

lim_（n->infty）P（alpha_j=k）=1/（k！）e^（-1/j）j^（-k），
(8)

这是一个泊松分布、和

lim_（n->infty）P[（sum_（j=1）^inftyalpha_j-lnn）（lnn）^（-1/2）<=x]=Phi（x），
(9)

这是一个正态分布,伽马射线是尤勒·马切罗尼常数、和功率因数（x）是正常的分布函数.

让

M（alpha）＝max_（j）{j:alpha_j>0}，
(10)

即中最长周期的长度圆周率Golomb（1964）计算了一个近似值（相当大误差）到定义为的常数

λ=lim_（n->infty）（<M（alpha）>）/n
(11)
=0.6243299885...
(12)

（组织环境信息系统A084945号)它被称为Golomb常数或Golomb-Dickman常数。

Knuth（1997）要求常数b条和c（c）这样的话

lim_（n->infty）n^b[<M（alpha）>-lambdan-1/2lambda]=c，
(13)

Gourdon（1996）表明

<M（α）>=λ（n+1/2）-（e^γ）/（24n）+，
(14)

哪里

j=e^（2pii/3）。
(15)

λ可以用函数来表示f（x）由定义f（x）=1对于1<=x<=2和

（df）/（dx）=-（f（x-1））/（x-1
(16)

对于x> 2个,通过

λ=int_1^infty（f（x））/（x^2）dx。
(17)

Shepp和Lloyd（1966）导出

λ=int_0^inftyexp（-x-int_x^infty（e^（-y））/ydy）dx
(18)
=整数0^1经验（整数0^x（dy）/（lny））dx
(19)
=int_0^1e^（li（x））dx，
(20)

哪里li（x）是对数积分.

令人惊讶的是λ和首要的因式分解（Knuth和Pardo 1976年，Knuth 1997年，第367-368、395和611页）。迪克曼（1930）研究了这种可能性P（x，n）那个最大的基本因子 第页随机的整数介于1之间和n个满足p<n ^x对于x英寸（0,1）.他发现了

F（x）=lim_（n->infty）P（x，n）={1，如果x>=1；int_0^xF（t/（1-t））（dt）/t，如果0<=x<1，
(21)

哪里F（x）现在被称为迪克曼函数.迪克曼然后找到x个这样的话p=n×，获取

亩=lim（n->infty）<x>
(22)
=lim（n->infty）<（lnp）/（lnn）>
(23)
=整数_0^1x（dF）/（dx）dx
(24)
=整数_0^1F（t/（1-t））dt
(25)
=0.62432999,
(26)

它与λ.

另请参见

常量素数,迪克曼函数,戈伦·迪克曼常数连分式,戈伦·迪克曼常量数字,最大素因子,整数序列素数

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Dickman，K.“关于包含特定相对大小素因子的数字的频率”Arkiv för Mat.，阿童木。och航班。 22安, 1-14, 1930.芬奇，S.R。“Golomb-Dickman恒定。“§5.4英寸数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第284-292页，2003S.W.戈隆姆。“随机排列。”牛市。阿默尔。数学。Soc公司。 70, 747, 1964.Goncharov，W.“苏拉分布des循环dans-les置换。"C.R.（Dokl.）学院。科学。城市道路安全系统 35,267-269, 1942.Goncharov，W.“组合分析领域”伊兹夫。阿卡德。诺克SSSR 8, 3-48, 1944. 英语翻译阿默尔。数学。社会事务处理。 191962年1月1日至46日。古尔登，X。联合体，Polynómes算法与计量。博士。论文。埃科尔理工学院，1996年。科努特，D.E。这个计算机编程艺术，第1卷：基本算法，第3版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1997年。科努特，D.E。这个计算机编程艺术，第2卷：半数值算法，第3版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1998年。科努特，D.E。和Pardo，L.T。“简单因子分解算法分析。”西奥。计算。科学。 三,321-348, 1976.米切尔，W.C。“Golomb常数的评估。”数学。计算。 22, 411-415, 1968.普多姆，P.W。和J.H.威廉姆斯。“随机函数中的周期长度。”变速器。阿默尔。数学。Soc公司。 133, 547-551, 1968.洛杉矶谢普。和劳埃德，标准普尔。“随机排列中的有序循环长度。”变速器。阿默尔。数学。Soc公司。 121, 350-557, 1966.新泽西州斯隆。答：。序列A084945号,A174974号,和A174975号在线百科全书整数序列的。"威尔夫，H.S。生成功能学，第2版。纽约：学术出版社，1994年。

参考Wolfram | Alpha

Golomb-Dickman常数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Golomb-Dickman常数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Golomb-DickmanConstant.html

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