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Gegenbauer微分方程

这个二阶普通微分方程

（1-x^2）y^（''）-2（mu+1）xy^'+（nu-mu）（nu+mu+1）y=0
(1)

有时称为超球面微分方程（Iyanaga和Kawada，1980年，第1480页；Zwillinger，1997年，第123页）。这个方程的解是

y=（x^2-1）^（-mu/2）[C_1P_nu^mu（x）+C_2Q_nu^ mu（x）]，
(2)

哪里P_nu^mu（x）是关联的勒让德函数第一类和Q_nu^亩（x）是关联的勒让德第二类功能.

该方程的许多其他形式有时也称为超球面或Gegenbauer微分方程，包括

（1-x^2）y^（''）-（2mu+1）xy^'+nu（nu+2mu）y=0。
(3)

这个方程的一般解是

y=（x^2-1）^（（1-2亩）/4）[C_1P_（-1/2+亩+nu）^（1/2亩）。
(4)

如果-1/2+亩+nu是一个整数，则其中一个解称为盖根堡多项式 C_n^（λ）（x）也称为超球面多项式。

表格

（1-x^2）y^（''）-（2m+3）xy^'+lambday=0
(5)

也由Infeld和Hull（1951年，第21-68页）和Zwillinger（1997年，第122页）给出。它有解决方案

y=（x^2-1）^（-（2m+1）/4）[C_1P_（-1/2+平方米（1+m）^2+λ））^。
(6)

另请参见

Gegenbauer多项式

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，1972年。Infeld，L.和Hull，T.E。“因子分解方法。"修订版Mod。物理学。 23, 21-68, 1951.伊亚纳加，S.和Kawada，Y.（编辑）。百科全书数学词典。马萨诸塞州剑桥：麻省理工学院出版社，1980年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第547-549页，1953D.茨威林格。手册微分方程，第3版。马萨诸塞州波士顿：学术出版社，第127页，1997

参考Wolfram | Alpha

Gegenbauer差速器方程式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Gegenbauer微分方程”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GegenbauerDifferentialEquation.html

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