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高斯-库兹明分布

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高斯-库兹明分布是正整数出现次数的分布k个在中连分数随机（或“通用”）实数。

考虑xi_n为实数定义x个通过

xi_n=a_n+1/（a_（n+1）+1/（a _（n+2）+…））
(1)
=a_n+1/（xi（n+1）），
(2)

所以1/xi_（n+1）是小数部分属于xi_n。可以通过递归定义

a_n=|1/（xi（n-1））_|
（3）

和

xin=1/（xi_（n-1））-an
(4)

具有xi_（-1）=x和（_n）简单地说n个第个连分数项x=[a_0；a_1，…].

高斯-库兹明柱状图

分布压裂（xin）高斯在一封写给拉普拉斯的信中考虑了1812年1月30日。在这封信中，高斯说他可以用一个简单的论点来证明如果F_n（x）,有时表示ωn（x）（哈维尔2003年，第156页），是指压裂xin<x对于随机的x个,然后

lim_（n->infty）F_n（x）=lg（1+x）
(5)

（Rockett和SzüSz，1992年，第151-152页；Knuth，1998年，第341页；Havil，2003年，第157页）。的直方图压裂（xin）以上所示为5000个条款圆周率，的尤勒·马切罗尼常数 伽马射线,加泰罗尼亚常数 K（K）、和自然对数第页，共2页 液化天然气.

然而，高斯无法描述修正项在

F_n（x）=lg（1+x）+ε_n。
(6)

库兹敏（1928）发表了对F_n（x），获取

F_n（x）=lg（1+x）+O（q^（平方码（n）））
(7)

具有0<q<1.使用不同的方法，Lévy（1929）获得

F_n（x）=lg（1+x）+O（q^n）
(8)

具有q=0.7.Wirsing（1974）随后显示，除其他结果外

lim_（n->infty）（F_n（x）-lg（1+x））/（（-lambda）^n）=磅/平方英寸（x），
(9)

哪里λ是一个常量，称为高斯-库兹明-维辛常数和磅/平方英寸（x）是一个解析函数Psi（0）=Psi（1）=0.

高斯-库兹明分布

从高斯的结果可以看出

P（a_n=k）=-lg[1-1/（（k+1）^2）]
(10)
=lg[1+1/（k（k+2））]
(11)

（贝利等。1997; 哈维尔2003年，第158页），其中lgx=对数2x“库兹明”有时也写如“Kuz'min”所示。上图显示了前500个术语的分布在以下的连分数中圆周率,正弦1，的尤勒·马切罗尼常数 伽马射线,和Copeland-Erdős常数 C类.由于

-sum_（k=1）^输入[1-1/（（k+1）^2）]=1。
(12)

另请参见

续分数,高斯-库兹明-维辛常量

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引用的关于Wolfram | Alpha

高斯-库兹明分布

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“高斯-库兹明分布。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Gauss-KuzminDistribution.html

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