基本类

基本群弧形连接的设置是组由以下几组等效类在所有的集合中循环，即具有初始值的路径和给定位置的最终点基点 ，在等效关系属于同伦. The身份要素此组的是所有路径的集合同伦到由点组成的退化路径.基本组同胚的空格是同构的事实上，基本群体仅取决于同伦型属于.基本群拓扑空间由Poincaré介绍（Munkres 1993年，第1页）。

以下是一些常见空间的基本组表，其中表示基本组，是第一个完整的同源群,表示群直积,表示免费产品,表示整数环、和是循环群订单的.

空间()	符号
圆圈
复射影的空间		0	0
图八
克莱因瓶
-圆环体
真实的射影平面
球		0	0

集团产品属于环 和环 由路径给出后面是路径。标识元素由常量路径表示，和的倒数通过遍历给出相反的方向。基本组是独立的选择基点的原因是任何循环通过是同伦循环通过任何其他点.所以说“."

上图显示，紧跟在相反循环后面的循环与常量循环同伦，即恒等式。也就是说，它从遍历路径开始,然后转身朝另一个方向走，.成分变形或同伦为常数路径，沿原始路径.

具有平凡基本群的空间（即每个循环与常量循环同伦）称为简单连接的例如，任何可收缩的空间，比如欧几里得的空间，是简单连接的。这个球是简单地有联系的，但不是可收缩的根据定义，这个万能盖 简单连接，循环提升到中的路径.通用盖中的提升路径定义了甲板转换，形成一个组与…同构基本组。

基本群的基础集是基于的集合同伦类从圆圈到，表示对于一般空间和，上没有自然的组结构，但如果有，称为co-H空间.此外这个圆圈，每球 是一个co-H空间,定义同伦群一般来说组是非阿贝尔人然而，越高同伦组是Abelian。在某些特殊情况下，基本群是阿贝尔群。例如，上面的动画显示在中圆环体.红色小路走在蓝色小路的前面。动画是循环之间的同伦先绕内侧，再绕外侧。

自从第一次积分同源性 属于也由循环表示，循环是唯一一维的没有边界的对象，有一个群同态

哪个是满腹经纶的事实上群核属于是换向器子群和被称为阿贝莱尼化.

基本群体可以使用厢式货车坎彭定理，何时可以写为联合基本群已知的空间。

什么时候？是一个连续的映射，然后基本组向前推进。就是说，有地图通过从中获取循环图像来定义. The向前推进地图是自然，即。，每当定义了两个映射的组合时。