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一阶常微分方程

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给定一阶常微分方程

（dy）/（dx）＝F（x，
(1)

如果F（x，y）可以用分离的变量作为

F（x，y）=x（x）y（y），
(2)

那么方程可以表示为

（dy）/（Y（Y））=X（X）dx
(3)

方程可以通过积分两边得到

int（dy）/（Y（Y））=整数x（x）dx。
(4)

任何一阶ODE表单的

（dy）/（dx）+p（x）y=q（x）
(5)

可以通过找到积分因子 μ=μ（x）这样的话

d/（dx）（μy）=μ（dy）/（dx）+y（dmu）/（d x）
(6)
=muq（x）。
(7)

除以缪产量

1/y（dy）/（dx）+1/亩（dmu）/（d x）=（q（x））/y。
(8)

然而，此条件使我们能够明确确定适当的亩用于任意第页和q个。要做到这一点

p（x）=1/亩（dmu）/（dx）
(9)

在上面的方程中，我们从中恢复原始方程(◇), 根据需要，以表格形式

1/y（dy）/（dx）+p（x）=（q（x））/y。
(10)

但我们可以整合(9)以获得

intp（x）dx=int（dmu）/mu=lnmu+c
(11)
mu=e^（整数（x）dx）。
(12)

现在整合了(◇) 给予

muy=整数muq（x）dx+c
(13)

（与亩现在是已知函数），可以求解年以获得

y=（intmuq（x）dx+c）/mu=（整数^，
(14)

哪里c（c）是一个任意的积分常数。

给定一个n个具有常数的四阶线性常微分方程系数

（d^ny）/（dx^n）+a_（n-1）+a_1（dy）/（dx）+a_0y=Q（x），
(15)

首先解决特征方程通过书写获得

y=e ^（rx）
(16)

和设置Q（x）=0以获得n个 复杂的 根.

r^ne^（rx）+a_（n-1）r^（n-1+a_1re ^（rx）+a_0e ^（r x）=0
(17)
r^n+a_（n-1）r^（n-1+a_1r+a_0=0。
(18)

保理提供了根 r（i）,

（r-r1）（r-r2）。。。（r-rn）=0。
(19)

对于未重复的真实的 根 第页,相应的解决方案是

y=e ^（rx）。
(20)

如果真实的 根 第页重复出现k个时间，解退化且线性无关解决方案是

y=e ^（rx），y=xe ^（r x），。。。，y=x^（k-1）e^（rx）。
(21)

复杂根总是进来复共轭对，r_+/-=a+/-ib.对于非重复复杂的 根，解决方案是

y=e^（ax）cos。
(22)

如果复杂的 根重复出现k个次，线性无关的解是

y=e^（ax）cos（bx，。。。，y=x^（k-1）e^（ax）cos。
(23)

将适当类型的解与任意乘法常数线性组合，即可得到完整解。如果指定了初始条件，则可以显式确定常数。例如，考虑六阶线性ODE

（D^~-1）（D^~2）^3（D^~ ^2+D^~+1）y=0，
(24)

其中包含特征方程

（r-1）（r-2）^3（r^2+r+1）=0。
(25)

根为1、2（三次）（-1+/-平方（3）i）/2，所以解决方案是

y=Ae^x+Be^（2x）+Cxe^。
(26)

如果原始方程是非齐次的(Q（x）=0)，现在找到特定的解决方案年^*通过以下方法变异第个参数，共个参数一般的解决方案是

y（x）=sum_（i=1）^nc_iy_，
(27)

其中线性方程的解是y_1（x）,y2（x）, ...,y_n（x）、和y^*（x）是特定的解决方案。

另请参见

一阶精确常微分方程,正在集成因子,常微分方程,二阶常微分方程式,变量的分离,参数的变化

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阿夫肯，G。物理学家数学方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第440-445页，1985

参考Wolfram | Alpha

一阶普通微分方程

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“一阶常微分方程”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/First-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html

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