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外部导数

函数的外部导数（f）是单式

df=总和（i）（部分）/（部分x i）dx i
(1)

写在坐标图 （x_1，…，x_n）.将函数视为零形式，外部导数线性扩展到所有有差别的k个-表格使用公式

d（αβ）=dalpha^beta+（-1）^kalpha^dbeta，
(2)

什么时候阿尔法是一个k个-形式以及在哪里 ^ 是楔形产品.

a的外部导数k个-表单是一个（k+1）-形式。例如，对于有差别的k个-形式

ω^1=b_1dx_1+b2dx_2，
(3)

外部导数是

domega^1=db_1^dx_1+db_2^dx_2。
(4)

同样，考虑

ω^1=b1（x_1，x_2）dx_1+b2（x1，x2）dx_2。
(5)

然后

圆顶^1=db_1^dx_1+db_2^dx_2
(6)
=（（partial_1）/（partial x _1）dx_1+。
(7)

表示外部导数

Dt=部分/（部分x）^t。
(8)

那么对于0形式t吨,

（Dt）_mu=（部分）/（部分x^mu），
(9)

对于1表格t吨,

（Dt）_（munu）=1/2（（partial_nu）/（partial x ^ mu）-（partialt_mu）/（partialx ^ nu）），
(10)

对于2表格t吨,

（Dt）_（ijk）=1/3ε_（ij k）（（部分_（23））/（部分x ^1）+，
(11)

哪里ε（ijk）是置换张量.

通常情况下d（达尔法）=0.何时达尔法=0，然后阿尔法称为闭合形式.A类顶部尺寸形式始终是关闭形式.何时α=数据然后阿尔法被称为精确形式，所以任何准确的形式也是关闭。示例关闭形式哪一个不是准确的是数据eta在圆圈上。自θ是一个定义为常数倍数的函数2π,数据eta是一个定义明确的 一种形式，但没有函数外部衍生工具。

外部导数是线性的，与拉回 欧米茄^*属于有差别的k个-表格 欧米茄.那就是，

df^*（alpha）=f^*（dalpha）。
(12)

因此拉回的闭合形式关闭，并且拉回的准确的形式是准确的。此外，ade Rham上同调班[阿尔法]有一个定义明确的 拉回地图 [f^*（α）].

另请参见

有差别的k个-表格,外部代数,霍奇星星,雅可比（Jacobian）,歧管,庞加莱引理,斯托克斯定理,切线束,张索尔,楔形产品

此条目由贡献托德罗兰

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引用如下：

托德·罗兰.“外部衍生产品”。来自数学世界--Wolfram Web资源，创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/ExteriorDerivative.html

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