扩展字段

A类领域 称为扩展字段（或字段扩展或扩展），表示,字段的如果是一个子字段属于例如复数是的扩展字段实数、和实数是的扩展字段理性的数字.

这个扩展场度扩展字段的（或相对度或索引），表示，是的尺寸作为一个向量空间结束即。，

（1）

给定一个字段,定义扩展字段有两种方法。如果包含在较大的字段中，然后选择一些元素歪投球，一个定义成为最小的子字段属于包含和.例如，理性可以通过复杂的数 ,顺从的.如果只有一个新元素，则该扩展称为简单扩展。这个添加新元素的过程称为“邻接”

因为元素可以以任何顺序连接，所以理解就足够了简单扩展。因为包含在一个更大的字段中，它的代数运算，例如乘法和加法，是用中的元素定义的因此，

（2）

上面的表达式表明，多项式都很重要。事实上，有两种可能性。

1.对于某些正整数，的th次方可以写成（有限的）线性组合

(3)

具有,的权力小于.在这种情况下，被称为代数数结束和是一个代数的延伸. The扩展场度扩展名的是最小整数满足上述条件，以及多项式被称为延伸域极小多项式.

2.否则，没有这样的整数和第一种情况一样。然后是一个超越的数结束和是一个超越扩张属于超越度1

注意，在代数扩展的情况下（上面的情况1），扩展字段可以写

(4)

与上面的类似表达式不同，不太明显的是戒指 是一个领域.下面的参数显示了如何在这个环中除法。因为没有多项式度小于可以划分延伸域极小多项式 ，任何此类多项式是相对质数。那个就是，存在多项式和这样的话或者更确切地说，

(5)

和是的乘法逆.

定义扩展的另一种方法是使用不确定变量.然后是一个变量中带系数的有理函数集在里面,和最多同构是独一无二的超越的延伸超越度为1。多项式是有理函数的分母和分子。给定一个非常多项式这是不可约的，商环是多项式mod p。特别是，在情况下1以上，由生成哪里是的度数.这个分数域属于，已写入，是一个代数的延伸属于,它与由…的根之一例如，。因此，如果和不可约多项式的不同根，然后.何时，此同构反映了领域自同构，构成加洛瓦组.

A类数字字段是有限的代数扩张有理数。数学家一直在使用数字字段数百年来其中所有变量都是整数，因为它们试着在引申中把方程考虑进去例如，很容易看到唯一的整数解决方案是因为有四种方法可以将5写成整数的乘积。

(6)

因此，有必要了解什么是数字字段中的质数。事实上，这导致了一些混乱，因为独特的因式分解并不总是成立。缺乏唯一因子分解是可以衡量的由类组、和班数.

可以看出，可以写入任何数字字段对一些人来说，即每个数字字段都是简单的延伸理性的。当然，选择不是唯一的，例如。，.