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一阶精确常微分方程

考虑形式稍有不同的一阶常微分方程

p（x，y）dx+q（x，y）dy＝0。
(1)

如果

（partial）/（partialy）=（partialq）/（partialx）。
(2)

此声明相当于要求保守场存在，因此可以定义标量势。对于一个精确的方程，解决方案是

int_（（x0，y0））^（x，y））p（x，y）dx+q（x，yy）dy=c，
(3)

哪里c（c）是一个常量。

一阶常微分方程(◇) 如果

（部分）/（部分）=（partialq）/（partial x）。
(4)

对于非精确方程，可以通过定义积分因子 亩第页，共页(◇) 所以新方程

mup（x，y）dx+muq（x，y）dy=0
(5)

满足

部分/（部分）（mup）=部分/（局部x）（muq），
（6）

或者，明确地写出来，

p（partialmu）/（partialy）+mu（partialp）/（partialy）=q（partialu）/。
(7)

这将非精确方程转换为精确方程。解决(7)的亩给予

mu=（q（partialmu）/（partialx）-p（partiallu）/。
(8)

因此，如果函数亩令人满意的(8)可以找到，然后写

P（x，y）=多核武器
(9)
Q（x，y）=muq（多功能）
(10)

在方程式中(◇) 然后给出

P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0，
(11)

这是一个精确的ODE。特殊情况下亩可以找到包括x个-依赖，xy公司-依赖，以及年-相关积分因子。

给定不精确的一阶常微分方程，我们还可以寻找积分因子 亩（x）以便

（partialmu）/（partialy）=0。
(12)

为了使方程式精确多核武器和muq（多功能），一阶非活动常微分方程

p（partialmu）/（partialy）+mu（partialp）/（partialy）=q（partialu）/
(13)

成为

mu（partialp）/（partialy）=q（partialmu）/（partialx）+mu（partialp）/（patialx）。
(14)

解决partialu/partialx给予

（partialmu）/（partialx）=mu（x）（（partial）/（partialy）-（partialq）/（partialx））/q
(15)
=f（x，y）mu（x），
(16)

如果

f（x，y）=（（partial）/（partialy）-（partialq）/（partialx））/q
(17)
=f（x），
(18)

在这种情况下

（dmu）/mu=f（x）dx，
(19)

所以这个方程是可积的

mu（x）=e^（intf（x）dx），
(20)

和方程式

[mup（x，y）]dx+[muq（x，y）]dy=0
（21）

已知的亩（x）现在是精确的，可以作为精确的ODE进行求解。

给定精确的一阶常微分方程，寻找积分因子 μ（x，y）=g（xy）.然后

（partialu）/（partialx）=（partial g）/（partialx）y
(22)
（partialu）/（partialy）=（partialg）/（partialy）x。
(23)

结合这两者，

（partialu）/（partialx）=y/x（partialmu）/（partialy）。
(24)

为了使方程式精确多路复用器和muq（多功能），一阶非精确ODE的方程

p（partialmu）/（partialy）+mu（partialp）/（partialy）=q（partialu）/
(25)

成为

（partialu）/（partialy）（p-y/xq）=（（partialq）/（pertialx）-（partial）/（partialy））亩。
(26)

因此，

1/x（partialu）/（partialy）=（（partialq）/（pertialx）-（partial）/（partialy））/（xp-yq）mu。
(27)

定义新变量

t（x，y）=xy，
(28)

然后partialt/partialy=x，所以

（partialu）/（partialt）=（partialmu）/（partialy）（partialy）/（patialt）=（（partialq）/。
(29)

现在，如果

f（x，y）=（（部分q）/（部分x）-（部分）/（局部））/（xp-yq）=f（xy）=f（t），
(30)

然后

（partialmu）/（partialt）＝f（t）mu（t），
(31)

以便

mu=e^（intf（t）dt）
（32）

和方程式

[mup（x，y）]dx+[muq（x，y）]dy=0
(33)

现在是精确的，可以作为精确的ODE进行求解。

给定不精确的一阶常微分方程，假设存在积分因子

mu=f（y），
(34)

所以partialu/partialx=0.为了使方程式精确多核武器和muq（多功能），方程式(◇) 成为

（partialu）/（partialy）=（（partialq）/（pertialx）-（partial）/（partialy））/pmu=f（x，y）mu（y）。
(35)

现在，如果

f（x，y）=（（部分q）/（部分x）-（部分）/（局部））/p=f（y），
（36）

然后

（dmu）/mu=f（y）dy，
(37)

以便

mu（y）=e^（intf（y）dy），
(38)

和方程式

mup（x，y）dx+muq（x，y）dy=0
(39)

现在是精确的，可以作为精确的ODE进行求解。

给定一阶常微分方程形式的

yf（xy）dx+xg（xy，
(40)

定义

v=xy。
（41）

那么解决方案是

{lnx=int（g（v）dv）/（c[g（v。
(42)

如果

（dy）/（dx）=F（x，y）=G（v），
(43)

哪里

v=y/x，
（44）

然后让

y=xv
(45)

给予

（dy）/（dx）=xdv/dx+v
(46)
x（dv）/（dx）+v=G（v）。
(47)

这可以通过象限进行积分，因此

lnx=int（dv）/（f（v）-v）+c代表f（v=v（v）
(48)
y=f（v）的cx=v。
(49)

另请参见

一阶常微分方程,普通微分方程

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

博伊斯，W.E。和DiPrima，R.C。初等微分方程和边值问题，第4版。纽约：威利，1986C.C.罗斯。§3.3英寸有差别的方程。纽约：Springer-Verlag，2004年。Zwillinger，D.Ch.第62页在里面手册微分方程。加州圣地亚哥：学术出版社，1997年。

引用的关于Wolfram | Alpha

精确的第一顺序常微分方程

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《精确一阶常微分方程》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ExactFirst-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html

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