Duffing微分方程——来自Wolfram MathWorld

达芬微分方程

Duffing方程最普遍的强迫形式是

(1)

根据所选参数，方程式可以采用多种特殊形式。例如在没有阻尼和强制的情况下，取加号，方程变成

（2）

（Bender和Orszag 1978年，第547页；Zwillinger 1997年，第122页）。该方程可以显示混沌行为。对于，方程式表示“硬弹簧”和用于,它代表“软弹簧”。如果，的相图曲线是闭合的。

如果我们取而代之,，重置时钟，以便，并使用减号，则方程式为

(3)

这可以写成一阶常微分方程组

			（4）
			(5)

（威金斯1990年，第5页），在非强制情况下，这一点可以简化为

			(6)
			(7)

（威金斯1990年，第6页；奥特1993年，第3页）。

这组耦合微分方程的不动点由下式给出

(8)

所以,和

			(9)
			(10)

给.因此，固定点是,、和.

不动点的稳定性分析可以通过线性化方程来进行。差异化提供

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可以写为矩阵方程

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检查点（0,0）的稳定性：

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但是,所以是真实的。自，总会有一个积极的根，所以这个不动点是不稳定的。现在看看(, 0). 特征方程为

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它有根

(18)

对于,,所以这个点是渐近稳定的。如果,，所以这个点是线性的稳定（Wiggins 1990，第10页）。然而，如果，根式给出想像的部分和实部是，因此该点不稳定。如果,，具有积极的真实的根，因此该点不稳定。如果,然后,所以两者都是根是积极的这一点是不稳定的。

有趣的是，特殊情况没有强迫，

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			(20)

可以通过求积积分。差异化(19)和堵塞英寸(20)给予

(21)

将两边乘以给予

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但这是可以写的

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所以我们有一个运动不变量,

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解决给予

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所以

(27)

（威金斯1990年，第29页）。

注意，运动不变量满足

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(29)

因此，Duffing振荡器的方程由哈密顿量系统

			(30)
			（31）

（威金斯1990年，第31页）。

工具书类

C.M.本德。和S.A.Orszag。科学家和工程师的高级数学方法。纽约：McGraw-Hill，第547页，1978年。

奥特，E。混乱在动力系统中。纽约：剑桥大学出版社，1993年。

威金斯，“阻尼、强迫Duffing振子动力学的应用”§1.2E英寸引言应用非线性动力系统和混沌。纽约：Springer-Verlag，第5-6、10、23、26-32、44-45、50-51和153-175页，1990年。

兹威林格，D.（编辑）。CRC公司标准数学表和公式。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第413页，1995

D.茨威林格。手册《微分方程》，第三版。马萨诸塞州波士顿：学术出版社，第122页，1997

达芬微分方程

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工具书类

参考Wolfram | Alpha

引用如下：

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