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磁盘覆盖问题

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给定一个单位磁盘，找到最小的半径 r（n）需要用于n个相等的磁盘以完全覆盖单元磁盘。前几个这样的值是

r（1）=1
(1)
r（2）=1
(2)
r（3）=1/2节（3）
(3)
r（4）=1/2节（2）
(4)
r（5）=0.609382864...
(5)
r（6） 大约 0.555
（6）
r（7）=1/2
(7)
r（8） 大约 0.437
(8)
r（9） 大约 0.422
(9)
r（10） 大约 0.398.
(10)

这里是的值n=6个,8、9、10是Zahn（1962）通过计算机实验获得的近似值。

磁盘覆盖问题5

对于对称布置n=5（称为五个磁盘问题),r（5）=phi-1=1/φ=0.6180340。。。,哪里φ是黄金比率然而，令人惊讶的是，在对称的一般圆盘覆盖问题中，半径可以稍微减小不需要；该配置如上文所示（Friedman）。内维尔（1915）显示了价值r（5）等于cos（θ+φ/2），其中θ和φ是解决方案

2英寸-平方英寸（θ+1/2斐+磅/平方英寸）-正弦（磅/平方英尺-1/2斐）=0
(11)
2sinphi-sin（θ+1/2phi+chi）-sin（chi-theta-1/2phi）=0
(12)
2sintheta+sin（chi+theta）-sin（chi-theta）-si（psi+phi）-sin
(13)
cos（2psi-chi+phi）-cos（2psi+chi-phi）-2coschi+cos（2 psi+chi-2theta）+cos。
(14)

这些解决方案可以准确地找到

θ=罪^（-1）r1
(15)
φ=2平方英寸^（-1）r_2
(16)

哪里

r_1=（576x^（16）+3136x^
(17)
r2=（746496x^（16）-3032064x^
(18)

是给定多项式的最小正根（P（x））_n表示n个多项式的th根P（x）按的顺序沃尔夫拉姆语言。这为r（5）=0.609382864。。。（组织环境信息系统133077美元)完全一样

r（5）=（1296x^8+2112x^7-3480x^6+1360x^5+1665x^4-1776x^3+22x^2-800x+625）_3，
(19)

其中根是上述多项式中最小的正根。

r（5）也由以下公式给出1/x（1/x）,哪里x个是最大的真实根

a（y）x^6-b（y）x^5+c（y）x^4-d（y）x^3+e（y）x^2-f（y）x+g（y）=0
(20)

整体最大化年，受约束

平方（2）<x<2y+1
(21)
-1<y<1，
(22)

和

a（y）=80岁^2+64岁
(23)
b（y）段=416年^3+384年^2+64年
(24)
c（y）=848y^4+928y^3+352y^2+32y
(25)
d（y）日=768y^5+992y^4+736y^3+288y^2+96y
(26)
e（年）=256y^6+384y^5+592y^4+480y^3+336y^2+96y+16
(27)
f（y）=128y^5+192y^4+256y^3+160y^2+96y+32
(28)
克（y）=64岁^2+64y+16
(29)

（Bezdek 19831984）。

出租N（ε）是磁盘属于半径 ε需要覆盖磁盘D类，比率的限制地区属于D类到地区磁盘的数量由

lim_（ε->0^+）1/（ε^2N（ε））=（3sqrt（3））/（2pi）
(30)

（组织环境信息系统A086089号; Kershner 1939年，Verblunsky 1949年）。

另请参见

圆圈覆盖,五磁盘问题

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球，W.W。对。和H.S.科克塞特。M。《五碟问题》（The Five-Disc Problem）数学娱乐与论文，第13版。纽约：多佛，第97-99页，1987年。贝兹德克，K.“U-ber einige Kreisüberdeckungen”Beiträge代数地理。 14, 7-13, 1983.Bezdek，K.“优化的用户”冯·克雷森（Konfigulationen von Kreisen）。"安理大学。布达佩斯电视教派。数学。 27, 141-151, 1984.芬奇，S.R。“”圆形覆盖常数。“§2.2英寸数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第484-489页，2003Friedman，E.“圆圈覆盖圆圈”http://www.stetson.edu/~efriedma/circovcir/.加德纳，M。这个第二本科学美国人的困惑与消遣之书：新选集。纽约：西蒙和舒斯特，第142-1441961页。R.Kershner“The覆盖一组的圆数。"阿默尔。数学杂志。 61, 665-671,1939E.H.内维尔。“关于数值泛函的求解方程式，通过一个流行的难题及其解决方案的说明来说明。"程序。伦敦数学。Soc公司。 14, 308-326, 1915.新泽西州斯隆。答：。序列A086089号和133077美元在“整数序列在线百科全书”中维尔布伦斯基，关于能覆盖一个正方形的最小单位圆数J。伦敦数学。Soc公司。 24, 164-170, 1949.C.T.扎恩。“黑色圆形覆盖的方框最大化。"J.Res.Nat.Bur.研究。站立。B类 66,181-216, 1962.

参考Wolfram | Alpha

磁盘覆盖问题

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“磁盘覆盖问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DiskCoveringProblem.html

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