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丢番图方程——三次幂

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作为研究的一部分华林问题，已知每个正整数是不超过9个正立方体的和(克（3）=9),每个“足够大”的整数都是不超过7个正数的和立方体(G（3）<=7；虽然不知道7是否可以减少），并且每个整数都是最多5个签名多维数据集(例如（3）<=5; 尽管不知道5是否可以减少到4).

众所周知n个可以写在表格中

n=A^2+B^2-C^3。
(1)

一个椭圆曲线表单的y^2=x^3+n对于n个整数被称为莫代尔曲线.

3.1.2方程式

A^3=B^3+C^3
（2）

是一个案例费马最后定理具有n=3.事实上，早在一般有效性费马最后定理成立。Thue表明Diophantine方程属于表格

AX^3-BY^3=l
(3)

对于A类,B类,和我整数，只有有限多个解（Hardy 1999，第78-79页）。

米勒、伍利特（1955）和加德纳等。（1964）调查整数的解决方案

A^3+B^3+C^3=D，
(4)

即，可表示为三（正或负）之和的数字立方体的数字.

3.1.3方程的一般有理解

A^3=B^3+C^3+D^3
(5)

由Euler和Vieta发现（Hardy 1999，第20-21页；Dickson 2005，第550-554页）。哈代和赖特（1979年，第199-201页）给出了一个基于身份的解决方案

a^3（a^3+b^3）^3=b^3（a^3+b^3）^3+a^3（a ^3-2b ^3）
(6)
a^3（a^3+2b^3）^3=a^3（a^3-b^3）^3+b^3（a ^3-b|3）^3+b^3。
(7)

这相当于Ramanujan发现的一般3.2.2解（Berndt 1994，第54和107页；Hardy 1999，第11、68和237页；Dickson 2005，第500和554页）。Ramanujan也给出了部分二次型恒等式（Berndt 1994，p.56）

（3x^2+5xy-5y^2）^3+（4x^2-4xy+6y^2=（6x^2-4xy+4y^2）^3，
(8)

第一个例子给出了nice方程3^3+4^3+5^3=6^3=216，这是其中之一柏拉图的数字可以使用身份

（ax^2+v_1xy+bwy^2）^3+（bx^2-v_1xy+awy^2）^3+（cx^2+v_2xy+dwy^2）^3+（dx^2-v_2xy+cwy^2）^3=（a^3+b^3+c^3+d^3）（x^2+wy^2）^3，
(9)

哪里v_1=-（c^2-d^2）,v_2=a^2-b^2,和w=（a+b）（c+d）,并简化为寻找解决方案a^3+b^3+c^3+d^3=0（或总和可以是任意数量的立方体），其中只是更普遍身份的一个特例（Piezas 2005）。

22个最小整数解是

3^3+4^3+5^3=6^3
(10)
1^3+6^3+8^3=9^3
(11)
3^3+10^3+18^3=19^3
(12)
7^3+14^3+17^3=20^3
(13)
4^3+17^3+22^3=25^3
(14)
18^3+19^3+21^3=28^3
(15)
11^3+15^3+27^3=29^3
(16)
2^3+17^3+40^3=41^3
(17)
6^3+32^3+33^3=41^3
(18)
16^3+23^3+41^3=44^3
(19)
3^3+36^3+37^3=46^3
(20)
27^3+30^3+37^3=46^3
(21)
29^3+34^3+44^3=53^3
(22)
12^3+19^3+53^3=54立方英尺
(23)
15^3+42^3+49^3=58立方英尺
(24)
22^3+51^3+54^3=67^3
(25)
36^3+38^3+61^3=69^3
(26)
7^3+54^3+57^3=70^3
(27)
14^3+23^3+70^3=71^3
(28)
34^3+39^3+65^3=72^3
(29)
38^3+43^3+66^3=75^3
（30）
31^3+33^3+72^3=76^3.
(31)

其他小型解决方案包括

28^3+53^3+75^3=84^3
（32）
26^3+55^3+78^3=87^3
(33)
33^3+70^3+92^3=105^3
（34）
1^3+71^3+138^3=144^3
(35)
1^3+135^3+138^3=172^3
(36)
1^3+372^3+426^3=505^3
(37)
1^3+426^3+486^3=577^3
(38)
1^3+566^3+823^3=904^3
(39)
1^3+242^3+720^3=729^3
(40)
1^3+791^3+812^3=1010^3
(41)
1^3+236^3+1207^3=1210立方英尺
（42）
1^3+575^3+2292^3=2304^3
(43)
1^3+1938^3+2820^3=3097^3
(44)
1^3+2676^3+3230^3=3753^3
(45)
1^3+1124^3+5610^3=5625^3
(46)
1^3+2196^3+5984^3=6081^3
(47)
1^3+1943^3+6702^3=6756^3
(48)
1^3+1851^3+8675^3=8703^3
(49)

（弗雷德金1972；马达奇1979，第124和141页；荷兰语）。带有总和的数据库z^3（z ^3）为所有人z<1000000由Wroblewski维护。

Binet（1841）和Schwering（1902）发现了其他一般解决方案，尽管Ramanujan的公式是最简单的。没有给出一般解决方案全部的 积极的积分解是已知的（Dickson 2005，pp.550-561）。Y.Kohmoto发现3.1.3^9解决方案，

2100000^3=2046000^3+882000^3+216000^3
(50)
=1979600^3+1145400^3+85000^3
(51)
=2081100^3+628110^3+1890^3
(52)
=2043150^3+901200^3+30450^3
(53)
=2002280^3+1072480^3+30360^3
(54)
=1960480^3+1199520^3+15200^3
(55)
=1948800^3+1229760^3+30240^3
(56)
=2078160^3+658812^3+13188^3
(57)
=2009112^3+1048040^3+13888^3.
(58)

3.1.4方程式包括

11^3+12^3+13^3+14^3=20^3
(59)
5^3+7^3+9^3+10^3=13 ^3。
(60)

3.1.5方程式包括

1^3+3^3+4^3+5^3+8^3=9^3
(61)
3^3+4^3+5^3+8^3+10^3=12^3,
（62）

3.1.6方程式如下所示

1^3+5^3+6^3+7^3+8^3+10^3=13^3.
(63)

3.2.2方程式

A^3+B^3=C^3+D^3
(64)

有一个已知的参数解（Guy 1994，第140页；Dickson 2005，第550-554页），以及10个求和解<10^5,

1729=1^3+12^3=9^3+10^3
(65)
4104=2^3+16^3=9^3+15^3
(66)
13832=2^3+24^3=18^3+20^3
(67)
20683=10^3+27^3=19^3+24^3
(68)
32832=4^3+32^3=18^3+30^3
(69)
39312=2^3+34^3=15^3+33^3
(70)
40033=9^3+34^3=16^3+33^3
(71)
46683=3^3+36^3=27^3+30^3
(72)
64232=17^3+39^3=26^3+36^3
(73)
65728=12^3+40^3=31^3+33^3
(74)

（组织环境信息系统A001235号; 莫罗1898）。这个序列中的第一个数字（Madachy 1979，第124和141页），即所谓的哈迪·拉马努扬数与G.H。哈代，但早在1657年就为人所知（Berndt和Bhargava，1993年）。可代表的最小数字在里面n个作为立方体总和的方式称为n个第个出租车号码.

Ramanujan给出了3.2.2方程的一般解，如下所示

（α+λ^2γ）^3+（λβ+γ）^3=（λα+γ）
(75)

哪里

α^2+αβ+β^2=3λγ^2
(76)

（Berndt和Bhargava，1993年；Berndt，1994年，第107页）。拉马努扬的另一种形式是

（A^2+7AB-9B^2）^3+（2A^2-4AB+12B^2=（2A^2+10B^2）^3+（A^2-9AB-B^2）^3。
(77)

Hardy和Wright（1979，定理412）证明了在n个任何方式n个（盖伊，1994年，第140-141页）。证据具有建设性计算此类数字的方法：给定理性数字 第页和秒，计算

t吨=（r（r^3+2s^3））/（r^3-s ^3）
（78）
单位=（s（2r^3+s^3））/（r^3-s^3
(79)
v（v）=（t（t^3-2u^3））/（t^3+u ^3）
(80)
w个=（u（2t^3-u^3））/（t^3+u）。
(81)

然后

r^3+s^3=t^3-u^3=v^3+w^3
(82)

这个分母现在可以清除以生成整数解。如果转/秒被选中足够大v（v）和w个将积极的.如果转/秒仍然较大体积/重量将足够大v（v）和w个用作输入以产生第三对等。然而，生成的整数可能非常大，即使对于n=2例如，以开头3^3+1^3=28，算法发现

28=((28340511)/(21446828))^3+((63284705)/(21446828))^3,
(83)

给

28·21446828^3=(3·21446828)^3+21446828^3
(84)
=28340511^3+63284705^3.
(85)

以三种方式表示为两个立方体（a）之和的数字3.2^3等式）是

87539319=167^3+436^3=228^3+423^3=255^3+414^3
(86)
119824488=11^3+493^3=90^3+492^3=346^3+428^3
(87)
143604279=111^3+522^3=359^3+460^3=408^3+423^3
(88)
175959000=70^3+560^3=198^3+552^3=315^3+525^3
(89)
327763000=300^3+670^3=339^3+661^3=510^3+580^3
(90)

（盖伊1994年，OEISA003825号). Wilson（1997）发现32个数字可以用四种方式表示为两个立方体（a3.2^4等式）。第一个是

6963472309248=2421^3+19083^3=5436^2+18948^3 =10200^3+18072^3=13322^3+16630^3.
(91)

可代表的最小已知数字为6963472309248、12625136269928、21131226514944、26059452841000。。。（组织环境信息系统A003826号). 威尔逊还发现了六个五元数，

48988659276962496=38787^3+365757^3
（92）
=107839^3+362753^3
(93)
=205292^3+342952^3
(94)
=221424^3+336588^3
(95)
=231518^3+331954^3
(96)
490593422681271000=48369^3+788631^3
(97)
=233775^3+781785^3
(98)
=285120^3+776070^3
(99)
=543145^3+691295^3
(100)
=579240^3+666630^3
(101)
6355491080314102272=103113^3+1852215^3
(102)
=580488^3+1833120^3
（103）
=788724^3+1803372^3
(104)
=1150792^3+1690544^3
(105)
=1462050^3+1478238^3
(106)
27365551142421413376=167751^3+3013305^3
(107)
=265392^3+3012792^3
(108)
=944376^3+2982240^3
(109)
=1283148^3+2933844^3
(110)
=1872184^3+2750288^3
(111)
1199962860219870469632=591543^3+10625865^3
(112)
=935856^3+10624056^3
（113）
=3330168^3+10516320^3
(114)
=6601912^3+9698384^3
(115)
=8387550^3+8480418^3
(116)
111549833098123426841016=1074073^3+48137999^3
(117)
=8787870^3+48040356^3
(118)
=13950972 ^3+47744382 ^3
(119)
=24450192 ^3+45936462 ^3
(120)
=33784478^3+41791204^3,
(121)

和一个六元的总和

8230545258248091551205888 =11239317^3+201891435^3 =17781264^3+201857064^3 =63273192^3+199810080^3 =85970916^3+196567548^3 =125436328^3+184269296^3 =159363450^3+161127942^3.
(122)

3.4.4方程的解为

2^3+3^3+10^3+11^3=1^3+5^3+8^3+12^3
(123)

（马达西1979年，第118和133页）。

3.6.6方程也存在：

1^3+2^3+4^3+8^3+9^3+12^3=3^3+5^3+6^3+7^3+10^3+11^3
(124)
87^3+233^3+264^3+396^3+496^3+540^3
(125)
=90^3+206^3+309^3+366^3+522^3+523^3.
(126)

（马达奇1979年，第142页；陈树文）。

1756-1757年，欧拉（1761、1849、1915）给出了

A^3+B^3=C^2
(127)

作为

A类=3n^3+6n^2-n
（128）
B类=-3n^3+6n^2+n
(129)
C类=6n^2（3n^2+1），
(130)

虽然相对质数解决方案需要使用分数n个（迪克森2005年，第578页）。为了避免这种情况，Euler也给出了解决方案

A类=4mn（3^2-3mn+n^2）
(131)
B类=（m-n）（3m-n）（3m^2+n^2）
(132)
C类=（3^2-n^2）（9m^4-18m^3n+18m^2n^2-6mn^3+n^4）
(133)

对于GCD（A+B，A^2-AB+B^2）=1,和

A类=3^4+6m^2n^2-n^4
(134)
B类=-3米^4+6米^2n^2+n^4
(135)
C类=6百万（3百万+4百万）
(136)

对于GCD（A+B，A^2-AB+B^2）=3（迪克森2005年，第579页）。

另请参见

炮弹问题,立方数字,Hardy-Ramanujan编号,多级方程式,超级-d日编号,出租车号码,三态的编号,沃林问题

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引用如下：

提托三世，皮埃扎斯和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《丢番图方程——三次幂》摘自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html

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