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立方公式

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三次公式是三次方程，即a的根三次多项式.一位将军三次方程形式为

z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0
(1)

（该系数 a_3型属于z^3（z ^3）在不损失一般性的情况下，可通过除以整个方程通过a_3型). 这个沃尔夫拉姆语言可以使用内置命令精确求解三次方程解决[a3类x^3+a2x^2+a1x+a0==0,x个]. 解决方案也可以表示为根据Wolfram语言代数的通过首次发布根对象设置选项[根,立方->假].

立方体的解（以及四次方的)由Gerolamo Cardano（1501-1576）在他的论文中发表大衍术然而，卡达诺并不是这两个结果的最初发现者。的提示立方体是由尼科洛·塔塔格里亚提供的，而四分体是卢多维科·费拉里（Ludovico Ferrari）解决了这个问题。然而，塔塔格里亚本人可能已经听到了来自其他来源的解决方案。这个解决方案显然是由博洛尼亚大学（University of Bologna）一位鲜为人知的数学教授Scipione del Ferro的名字（约1465-1526年）。虽然del Ferro没有公布他的解决方案，他向他的学生安东尼奥·玛丽亚·菲奥（Antonio Maria Fior）透露了这一点（Boyer and Merzbach 1991，第283页）。这显然是塔塔格里亚在1541年左右了解到解决方案的地方。

求解一般立方(1)，从尝试消除a_2型通过进行替换来进行术语属于表格

z=xλ。
(2)

然后

（xλ）^3+a_2（xλ）^2+a_1（xλ）+a_0=0
(3)
（x^3-3lambdax^2+3lambda^2x-lambda*3）+a_2（x^2-2lambdax+lambda|2）+a_1（x-lambda）+a_0=0
(4)
x^3+（a_2-3lambda）x^2+（a_1-2a_2lambda+3lambda^2）x+（a_0-a_1lambda+a_2lampda^2-lambda*3）=0。
(5)

这个x ^2（x ^2）通过以下方式消除λ=a_2/3，所以

z=x-1/3a_2。
(6)

然后

z^3（z ^3）=（x-1/3a_2）^3=x^3-a_2x^2+1/3a_2^2x-1/（27）a_2^3
(7)
a_2z^2=a_2（x-1/3a_2）^2=a_2x^2-2/3a_2^2x+1/9a_2^3
(8)
a1赫兹=a_1（x-1/3a_2）=a_1x-1/3a-1a_2，
(9)

so等式(◇) 成为

x^3+（-a_2+a_2）x^2+（1/3a_2^2-2/3a_2^2+a_1）x-（1/（27）a_2^3-1/9a_2^3+1/3a_1a_2-a_0）=0
(10)
x^3+（a_1-1/3a_2^2）x-（1/3a_1a_2-2/（27）a_2^3-a_0）=0
(11)
x^3+3·（3a1-a_2^2）/9x-2·（9a_1a_2-27a_0-2a_2^3）/（54）=0。
(12)

定义

第页=（3a_1-a_2^2）/3
(13)
q个=（9a_1a_2-27a_0-2a_2^3）/（27）
(14)

然后允许(◇) 以标准格式书写

x^3+px=q。
(15)

最简单的方法是维埃塔的替代

x=w-p/（3周），
(16)

将立方体简化为等式

w^3-（p^3）/（27w^3）-q=0，
(17)

很容易变成二次方程在里面w^3个通过乘以w^3个以获得

（w^3）^2-q（w^2）-1/（27）p^3=0
(18)

（Birkhoff和Mac Lane，1996年，第106页）。结果来自二次的公式是

w^3个=1/2（q+/-平方（q^2+4/（27）p^3））
(19)
=1/2q+/-平方（1/4 q^2+1/（27）p^3）
(20)
=R+/-平方（R^2+Q^3），
(21)

哪里问和R（右）有时比现在更有用第页和q个。因此，有六种解决方案w个（每个标志对应两个根属于w^3个). 堵塞w个返回到(19)给出三对解，但每对都相等，所以三次方程有三个解。

方程式(◇) 也可以通过试图去掉一个术语来明确考虑表单的 （x-B）从三次方程出发，留下一个二次方程然后可以使用二次公式.这个过程相当于维埃塔的替换,但在激励维埃塔的“魔术”换人方面做得稍微好一些，也可以生成解的显式公式。首先，定义中间变量

问=（3a_1-a_2^2）/9
(22)
R（右）=（9a_2a_1-27a_0-2a_2^3）/（54）
(23)

（与相同第页和q个达到恒定系数）。一般三次方程(◇) 然后变成

x^3+3Qx-2R=0。
(24)

让B和C类目前是任意常数。满足以下条件的身份完美的三次多项式方程式是

x^3-B^3=（x-B）（x^2+Bx+B^2）。
(25)

因此，如果没有x个术语（即，如果Q=0). 然而，因为一般来说问=0，添加的倍数（x-B）--说C（x-B）--到的两侧(25)给予稍显凌乱的身份

（x^3-B^3）+C（x-B）=（x-B”）（x^2+Bx+B^2+C）=0，
(26)

在重新组合术语后

x^3+Cx-（B^3+BC）=（x-B）[x^2+Bx+（B^2+C）]=0。
(27)

我们现在想匹配系数 C类和-（公元前3+年）与等式中的那些(◇), 所以我们必须

C=3个
(28)
B^3+BC=2R。
(29)

将前者插入后者，即可

B^3+3QB=2R。
(30)

因此，如果我们可以找到B满足上述等式，我们将线性项分解为因子从立方体，从而将其减少为二次的方程式.实现这一奇迹的试验解决方案是对称的表达

B=[R+sqrt（Q^3+R^2）]^（1/3）+[R-sqrt。
(31)

第二次和第三次权力属于B给予

B^2号=[R+sqrt（Q^3+R^2）]^（2/3）+2[R^2-（Q^3+R^2
（32）
=[R+sqrt（Q^3+R^2）]^（2/3）+[R-sqrt
(33)
B^3号=-2QB+{[R+sqrt（Q^3+R^2）]^（1/3）+[R-sqrt
（34）
=[R+sqrt（Q^3+R^2）]+[R-sqrt
(35)
=-2QB+2R+[R^2-（Q^3+R^2）]^（1/3）×[（R+sqrt（Q^3+R^2
(36)
=-2QB+2R-QB
（37）
=-3QB+2R。
(38)

堵塞B^3和B进入的左侧(◇) 给予

（-3QB+2R）+3QB=2R，
(39)

所以我们确实找到了因素（x-B）第页，共页(◇), 我们现在只需要将二次方因子部分。堵塞C=3个到的二次部分(◇) 并解决结果

x^2+Bx+（B^2+3Q）=0
(40)

然后给出解决方案

x个=1/2[-B+/-平方（B^2-4（B^2+3Q））]
(41)
=-1/2B+/-1/2sqrt（-3B^2-12Q）
（42）
=-1/2B+/-1/2sqrt（3）是qrt（B^2+4Q）。
(43)

可以通过定义

A类=[R+sqrt（Q^3+R^2）]^（1/3）-[R-sqrt
(44)
A^2（A ^2）=[R+sqrt（Q^3+R^2）]^（2/3）-2[R^2-（Q^3+R^2
(45)
=[R+sqrt（Q^3+R^2）]^（2/3）+[R-sqrt
(46)
=B^2+4Q，
(47)

从而可以写出二次部分的解

x=-1/2B+/-1/2sqrt（3）iA。
(48)

定义

D类=Q^3+R^2
(49)
S公司=RadicalBox[{R，+，{sqrt（，D，）}}，3]
(50)
吨=RadicalBox[{R，-，{sqrt（，D，）}}，3]，
(51)

哪里D类是多项式判别式（其中定义稍有不同，包括相反的定义签名,作者Birkhoff和Mac Lane，1996），然后给出了以下非常简单的表达式A类和B，即

B=标准+T
(52)
A类=S-T公司。
(53)

因此，最后根原始方程式的z（z）然后由给出

z_1=-1/3a_2+（S+T）
(54)
z_2型=-1/3a_2-1/2（S+T）+1/2isqrt（3）（S-T）
(55)
z3型=-1/3a_2-1/2（S+T）-1/2isqrt（3）（S-T），
(56)

具有a_2型这个系数属于z^2（z ^2）在原始方程中，以及S公司和吨如上所述。这三个方程给出了三个根三次方程的解有时被称为卡达诺方程公式。注意，如果方程是Vieta的标准形式

x^3+px=q，
(57)

在变量中x个,然后a_2=0,a_1=p、和a_0=-q，中间变量具有简单形式（比照Beyer 1987）

问=1/3便士
(58)
R（右）=1/2季度
(59)
D类=Q^3+R^2=（p/3）^3+（Q/2）^2。
(60)

解决方案满足维埃塔公式

z1+z2+z3=-a_2型
(61)
z1z2+z2z3+z1z3=a_1
(62)
z_1z_2z_3=-a_0。
(63)

以标准形式(◇),a_2=0,a_1=p、和a_0=-q，因此消除q个给予

p=-（z_i^2+z_iz_j+z_j^2）
(64)

对于我=j个,并消除第页给予

q=-z_iz_j（z_i+z_j）
(65)

对于我=j个.此外对称的多项式出现在维埃塔公式给

z_1^2+z_2^2+z_3^2=-2便士
(66)
z_1^3+z_2^3+z_3^3=第3季度
(67)
z_1^4+z_2^4+z_3^4=2便士^2
(68)
z_1^5+z_2^5+z_3^5=-5个。
(69)

以下等式z_1在卡达诺公式中没有我在它显式出现时z_2型和z3型是的，但这并没有说明真实的和复杂的 根（自S公司和吨总的来说是他们自己，复杂的).然而，确定根是真实的哪些是复杂的可以通过注释来完成如果多项式判别式 D> 0个，一个根是真实的两个是复杂的共轭物; 如果D=0,全部的根是真实的和至少两个相等；如果D<0，全部根是真实的和不平等。如果D<0,定义

θ=cos^（-1）（R/（sqrt（-Q^3）））。
(70)

然后真实的解决方案是属于表格

z_1=2sqrt（-Q）cos（θ/3）-1/3a_2
(71)
z_2型=2sqrt（-Q）cos（（θ+2pi）/3）-1/3a_2
(72)
z3型=2sqrt（-Q）cos（（θ+4pi）/3）-1/3a_2。
(73)

这个过程可以推广到真实的 根对于任何标准形式的方程(◇) 通过使用身份

sin^3theta-3/4sintheta+1/4sin（3theta）=0
(74)

（Dickson 1914）和背景

x=平方（（4|p|）/3）y
(75)

（Birkhoff和Mac Lane，1996年，第90-91页），然后

（（4|p|）/3）^（3/2）y^3+psqrt（（4| p|）/3）y=q
(76)
y^3+3/4p/（|p|）y=（3/（4|p|，））^（3/2）q
（77）
4y^3+3sgn（p）y=1/2q（3/（|p|））^（3/2）=C。
(78)

如果p> 0个,然后使用

sinh（3theta）=4sinh^3theta+3inheta
(79)

以获得

y=sinh（1/3英寸（-1）C）。
(80)

如果p＜0和|C|>=1,使用

cosh（3theta）=4cosh^3theta-3cosheta，
(81)

如果p<0和|C|<=1,使用

cos（3θ）=4cos^3θ-3θ，
(82)

以获得

对于C>=1，y={cosh（1/3cosh^（-1）C）；对于C<=-1，y=-cosh（1/3och^（-1-）|C|）；对于|C|<1，y=cosh（1/3 cos^（-1C）[three solutions]。
(83)

原始方程的解是

x_i=2sqrt（（|p|）/3）y_i-1/3a_2。
（84）

求解三次方程的另一种方法是使用拉格朗日预解式（福塞特，1996年）。让ω=e^（2pii/3），定义

（1，x_1）=x_1+x_2+x_3
(85)
（ω，x_1）=x_1+ωx_2+ω^2x_3
(86)
（ω^2，x_1）=x_1+ω^2x2+ωx_3，
(87)

哪里x _ i是根属于

x^3+px-q=0，
(88)

然后考虑这个方程

[x-（u_1+u_2）][x-，
(89)

哪里u_1和二氧化铀是复数. The根那么是

x_j=ω^ju_1+ω^（2j）u_2
(90)

对于j=0,1, 2. 乘法计算给定值

x^3-3u_1u_2x-（u_1^3+u_2^3）=0，
(91)

可以写在表格中(88)，其中

u_1^3+u_2^3=q个
(92)
u_1^3u_2^3=-（p/3）^3。
(93)

Berndt（1994）给出了一些奇怪的恒等式，这些恒等式涉及由Ramanujan引起的三次方程的根。

另请参见

不可撤销案件,三次方程,三次多项式,多项式的歧视性的,二次方程,四分位数方程式,五次方程,六边形方程式

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，1972年第17页。M.Berger§16.4.1-16.4.11.1在里面几何形状一、。纽约：Springer-Verlag，1994年。伯恩特，B.C。拉马努扬的笔记本，第四部分。纽约：Springer-Verlag，第22-23页，1994年。拜尔，W.H.公司。CRC公司标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第9-11页，1987G.Birkhoff和S.Mac Lane。A类《现代代数概论》，第5版。纽约：麦克米伦出版社，第90-91、106-107页，和414-4171996年。Borwein，P.和Erdélyi，T.“三次方程”§1.1.E.1b英寸多项式和多项式不等式。纽约：Springer-Verlag，第4页，1995年。博伊尔，C.B.公司。和密苏里州默兹巴赫。A类数学史，第二版。纽约：Wiley，第282-286页，1991年。Dickson，路易斯安那州。“三次方程的新解。”阿默尔。数学。每月 5,38-39, 1898.迪克森，L.E。初级方程理论。纽约：Wiley，第36-37页，1914年。邓纳姆，W.《卡达诺和立方的解》第6章旅程通过天才：伟大的数学定理。纽约：Wiley，第133-154页，1990Ehrlich，G.§4.16英寸基础抽象代数的概念。马萨诸塞州波士顿：PWS Kent，1991年。水龙头，W.M.公司。“一般四次方解的几何解释多项式的。"阿默尔。数学。每月 103, 51-57, 1996.琼斯，J.“Omar Khayyám和立方体的几何解”http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/Student.Folders/Jones.June/omar/omarpaper.html.肯尼迪，欧洲委员会。“关于立方体根的注释。”阿默尔。数学。每月 40,411-412, 1933.金·R·B。超越四次方程。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，1996年。Lichtblau，D.“用Mathematica处理代数方程的各种方法”1998年全球数学软件会议。http://library.wolfram.com/infocenter/Conferences/337/.按，W.H。；弗兰纳里，B.P。；Teukolsky，S.A。；和韦特林。“二次和三次方程”§5.6数字的FORTRAN:科学计算的艺术，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第178-180页，1992年。斯潘尼尔、J.和奥尔德姆，英国。“立方函数x^3+ax^2+bx+c和高等多项式。“第17章英寸一个函数图谱。华盛顿特区：《半球》，第131-147页，1987年。厢式货车德瓦尔登，B.L。§64英寸代数。纽约：Frederick Ungar，1970年。E.T.惠塔克。和罗宾逊，G.《三次曲线的解》第62节这个观测微积分：数值数学论文，第4版。新建约克：多佛，第124-1261967页。

参考Wolfram | Alpha

立方公式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“立方公式”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html

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