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临界阻尼简谐运动

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SHO严重受潮

临界阻尼是以下情况的特例受潮的简谐运动

x^+贝塔克斯^+ω_0^2x=0，
(1)

在哪儿

D=β^2-4ω，
（2）

哪里贝塔是阻尼常数。因此

β=2omega_0。
(3)

在这种情况下，D=0所以解决方案表单的 x=e^（rt）满足

r+/-=1/2（-β）=-1/2β=-ω0。
(4)

因此，解决方案之一是

x_1=e^（-omega_0t）。
(5)

为了找到另一个线性无关的解，我们可以利用这个恒等式

x_2（t）=x_1（t）int（e^（-intp（t）dt））/（[x_1。
(6)

自从我们p（t）=2兆_0,e ^（-intp（t）dt）简化为e^（-2omega_0t）.方程式(6)因此成为

x_2（t）=e^（-omega_0t）int（e^）（-2omega_0t。
(7)

因此，一般的解决方案是

x=（A+Bt）e^（-omega_0t）。
(8)

就常数而言A类和B类，初始值为

x（0）=A类
(9)
x ^。(0)=B-Aomega，
(10)

所以

A类=x（0）
(11)
B类=x ^。（0）+ω_0x（0）。
(12)

上图显示了具有临界阻尼的简谐振荡器Ω=0.3,β=0.15对于各种初始条件（A、B）.

对于具有临界阻尼的正弦受迫简谐运动，运动方程为

x^+2omega_0x^+ω_0^2x=Ccos（ω），
(13)

和弗罗恩斯基是

W（吨）=x_1x^_2-x^_1×2
(14)
=e^（-2百万吨）。
(15)

将其插入特定解决方案的方程式中，可以得出

x ^*（吨）=-e^（-omega_0t）int（te^（-omega_0t
(16)
=A/（（（ω^2+ω_0 ^2）^2）[（ω_0^2-ω^ 2）cos（ω）+2oω_0sin（ω”）]。
(17)

应用调和加法定理然后给出

x ^*（t）=A/（ω^2+ω_0 ^2）cos（ω+δ），
(18)

哪里

δ=tan^（-1）（（2omega^0）/（omega^2-omega_0^2））
(19)

另请参见

阻尼简谐运动,过阻尼简谐运动,简谐运动,欠阻尼简谐运动

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A.帕普利斯。概率、随机变量和随机过程，第2版。纽约：McGraw-Hill，第528页，1984年。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《严重阻尼简谐运动》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CriticallyDampedSimpleHarmonicMotion.html

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