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凸面Polyomino


凸多边形

凸多边形(有时称为“凸多边形”)是指其周长等于其最小边界盒子(Bousquet-Mélou等。1999). 如果它进一步含有至少它的最小边界框的一个角,据说是定向的凸多边形.A型柱-凸多边形是一种自动作废的多边形,任何垂直线与polyomino最多有两个相连的组件,以及一个行-凸波利米诺定义类似。许多类型的命名凸多边形如上图所示(Bousquet-Mélou等。1999).

Klarner and Rivest(1974)和Bender(1974)给出了这个数字的渐近估计a_n(名词)具有面积的凸多边形n个作为

 a_n~cgamma^n,
(1)

具有γ=2.30914。。。c=2.67564。。。(Delest和Viennot 1984)。

各向异性周长和面积生成函数

 G(x,y,q)=sum_(m>=1)sum_,
(2)

哪里C(m,n,a)是多边形的数量200万横向债券,2个垂直键和面积一由提供

 G(x,y,q)=2sum_(m>=1)(y^(m+2))/((xq)_m^2N(xq^,
(3)

哪里

N(x)个=和(n>=0)((-1)^nx^nq^((n+1;2)))/((q)_n(yq)-n)
(4)
S(x)=sum_(n>=1)[(x^nq^n)/((yq)_n)sum_(j=0)^(n-1)((-1)^jq^((j;2)))/((q)_j(yq^(j+1))_(n-j))]
(5)

T_n(x)是多项式递推关系

 T_n(x)=2T_(n-1)(x)+
(6)

具有T_0(x)=1T_1(x)=1(Bousquet-Mélou 1992b)。这些多项式的前几项由下式给出

T_2(x)=1+qx
(7)
T_3(x)=1+(2q+q^2)x
(8)
T_4(x)=1+(3q+2q^2+q^3)x+q^4x^2
(9)
T_5(x)=1+(4q+3q^2+2q^3+q^4)x+(2q^4+2q^5+q^6)x^2。
(10)

扩展生成函数表明,具有周长 2n+8由提供

 p(2n+8)=(2n+11)4^n-4(2n+1)(2n;n),
(11)

哪里p_4=1,p_6=2、和(n;k)是一个二项式系数(Delest and Viennot 1984,Bousquet-Mélou 1992ab)。生成函数对于p(2n)由明确给出

 sum_(n=2)^inftyp_(2n)t^(2n)=(t^4(1-6t^2+11t^4-4t^6))/((1-4t^2)^2)-4t^8(1-4t ^2)(-3/2)
(12)

(Delest和Viennot 1984;Guttmann和Enting 1988)。因此,前几个术语是1, 2, 7, 28, 120, 528, 2344, 10416, ... (组织环境信息系统A005436号).

该函数已针对柱-凸和定向柱-凸多面体进行了精确计算(Bousquet-Mélou 1996,Bousquet-Me lou等。1999).G(1,1,q)是一个q个-系列,但对于柱-凸多面体来说,它是代数的。然而,G(x,y,q)对于柱-凸多边形,再次涉及q个-系列(坦佩雷,1956年,布斯克-梅洛等。1999).

G(x,y)=G(x、y,1)是一个代数函数属于x个年(称为“逸度”)

G(x,y)=总和_(x>=1)总和_(y>=1)C(m,n)x^my^n
(13)
=(R(x,y)xy)/([增量(x,y)]^2)-(4x^2y^2)/(增量^(3/2)),
(14)

哪里

R(x,y)=1-3x-3y+3x^2+3y^2+5xy-x^3-y^3-x^2y-xy^2-xy(x-y)^2
(15)
增量(x,y)=1-2x-2y-2xy+x^2+y^2
(16)
=(1-y)^2[1-(x(2+2y-x))/((1-y)^2)]
(17)

(Lin和Chang,1988年,Bousquet-Mélou,1992年b)。这可以通过显式给出

 C(m,n)=(mn-1)/(m+n-2)(2m+2n-4;2m-2)-2(m+n-2)(m+n-3;m-1)(m+n-3;n-1)
(18)

(Gessel 2000,Bousquet-Mélou 1992ab)。

G(x,y)满足反演关系

 G(x,y)+y^3G(x/y,1/y)=xy-x^3ypartial/(partialx)(1-x+y)/(Delta(x,y)),
(19)

哪里

增量(x,y)=1-2x-2y-2xy+x^2+y^2
(20)
=(1-年)^2[1-(x(2+2y-x))/((1-y)^2)]
(21)

(林和张1988年,Bousquet-Mélou等。1999).

宽度为3的柱凸多边形的半垂直周长和面积生成函数由特例给出

 H_3(y,q)=(yq^3)/((1-yq)^4(1-yq^2)^2(1-yq^3))
(22)

一般有理函数(Bousquet-Mélou等。1999年),其中满足互惠关系

 H_3(1/y,1/q)=-1/(yq^3)H_3。
(23)

各向异性面积和周长生成函数G(x,y,q)和部分生成函数H_m(y,q),由连接

 G(x,y,q)=sum_(m>=1)H_m(y,q)x^m,
(24)

满足自律和反转关系

 H_m(1/y,1/q)=-1/(yq^m)H_m(y,q)
(25)

 G(x,y,q)+yG(xq,1/y,1/q)=0
(26)

(布斯克-梅洛等。1999).


另请参见

柱形凸多边形,定向凸多边形,平行四边形波利米诺,波利米诺,堆栈波利米诺,楼梯多边形

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工具书类

Bender,E.“凸面n个-阿米诺。"光盘。数学。 8, 31-40, 1974.Bousquet-Mélou,M.“凸多边形和线段堆”《物理学杂志》。A: 数学。消息。 25,1925-1934年,1992年。Bousquet-Mélou,M.“凸多边形和代数语言。"《物理学杂志》。A: 数学。消息。 25, 1935-1944,1992年b。Bousquet-Mélou,M.“各种枚举方法柱凸多边形的类。"光盘。数学。 154, 1-25, 1996.Bousquet-Mélou,医学硕士。;古特曼,A.J。;奥里克·W·P。;和Rechnitzer,A.“反转关系、互惠和多民族。“1999年8月23日。http://arxiv.org/abs/math.CO/9908123.德尔斯特,M.-P.和Viennot,G.“代数语言和Polyominoes[sic]枚举”理论。计算。科学。 34, 169-206, 1984.格塞尔,I.M。“关于凸多氨基的数目。”科学年鉴。数学。杜魁北克,24, 63-66, 2000.古特曼,A.J。和Enting,I.G。正方形和蜂巢格上的凸多边形数。"《物理学杂志》。A类 21,L467-L4741988年。Klarner,D.和Rivest,R.“渐近凸数的界n个-阿米诺。"光盘。数学。 8, 31-40, 1974.林,K.Y.公司。和Chang,S.J。“凸数的严格结果正方形和蜂巢格上的多边形。"《物理学杂志》。A: 数学。消息。 21,2635-2642, 1988.新泽西州斯隆。答:。顺序A005436号/M1778型在“整数序列在线百科全书”中坦佩雷,H.N.公司。五、。“统计力学提出的组合问题结构域和橡胶类分子。"物理学。版次。 103, 1-16,1956

参考Wolfram | Alpha

凸面Polyomino

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“凸多边形。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ConvexPolyomino.html

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