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复杂残留物

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常量a_（-1）在中洛朗级数

f（z）=总和_（n=-infty）^inftya_n（zz_0）^n
（1）

属于f（z）大约一点z0（零）被称为f（z）.如果（f）在进行分析z0（零），它的剩余为零，但反过来并不总是正确的（例如，1/z^2在的剩余值为0z=0但在z=0).函数的余数（f）在某一点上z0（零）可以表示为Res_（z=z_0）（f（z））.残留物在沃尔夫拉姆语言作为残留[（f）,{z（z）,z0（零）}].

残基的两个基本例子如下Res_（z=0）1/z=1和Res_（z=0）1/z^n=0对于n> 1个.

残留

函数的余数（f）围绕一个点z0（零）也由定义

Res_（z_0）f=1/（2pii）м_gammafdz，
(2)

哪里伽马射线逆时针简单关闭轮廓，足够小以避免任何其他极点属于（f）事实上，任何逆时针路径轮廓绕组数不包含任何其他极点通过柯西积分公式。上图显示了一个合适的轮廓定义函数剩余，其中极点表示为黑色点。

考虑亚纯单形因为它与坐标的选择无关。在上黎曼表面，残差定义为亚纯的单式 阿尔法在某一点上第页通过写作α=fdz在坐标系中z（z）围绕第页.然后

Res_（p）alpha=Res_（z=p）f。
(3)

残留物的总和国际自由贸易区在上为零黎曼球更一般地说亚纯的单式在契约上黎曼曲面必须为零。

函数的余数f（z）可以在不显式展开为劳伦特系列如下所示。如果f（z）有一个极订单的米在z0（零），然后a_n=0对于n<-m和a（-m）=0因此，

f（z）=总和_（n=-m）^（infty）a_n（zz_0）^n
(4)
=和（n=0）^（infty）a（-m+n）。
（5）

将两边乘以（zz0）^m给予

（zz0）^mf（z）=总和（n=0）^inftya（-m+n）（zz_0）^n。
(6)

取一阶导数并重新索引，

d/（dz）[（zz0）^mf（z）]=总和（n=0）^（infty）na（-m+n）（zz0）^（n-1）
(7)
=总和（n=1）^（infty）na（-m+n）（zz0）^
(8)
=和（n=0）^（infty）（n+1）a（-m+n+1）（zz0）^n。
(9)

取二阶导数并重新索引，

（d^2）/（dz^2）[（zz0）^mf（z）]=和（n=0）^（infty）n（n+1）a（-m+n+1）（zz0）^（n-1）
(10)
=和（n=1）^（infty）n（n+1）a（-m+n+1）（zz0）^
(11)
=求和（n=0）^（infty）（n+1）（n+2）a（-m+n/2）（zz0）^n。
(12)

迭代然后给出

（d^（m-1））/（dz^（m-1））[（zz0）mf（z）]=sum_（n=0）^（infty）（n+1）（n+2）。。。（n+m-1）a_（n-1）（z-z_0）^n
(13)
=（m-1）！a_（-1）+sum_（n=1）^（infty）（n+1）（n+2）。。。（n+m-1）a（n-1）（zz0）^n。
(14)

所以

lim（z->z0）（d^（m-1））/（dz^（m-1））[（zz0）^mf（z）]=极限（z->z0）（m-1）！a_（-1）+0
(15)
=（m-1）！a_（-1）
(16)

自从lim（z->z0）（zz0）^n=0,残渣是

a_（-1）=1/（（m-1）！）（d^（m-1））/（dz^（m-1））[（z-z_0）^mf（z）]_（z=z_0）。
(17)

a的残留物全纯函数在其上极点描述了一个函数，例如出现在残留定理属于等高线积分.

另请参见

柯西积分公式,柯西积分定理,轮廓集成,轮廓绕组编号,Laurent系列,亚纯的一个窗体,电杆,残留定理

本条目的部分内容由托德罗兰

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引用如下：

托德·罗兰和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“复合残留物”摘自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ComplexRestival.html

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