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圆形三角形拾取

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三角形划线

在上随机选择三个点圆周的单位圆并求出所确定三角形的面积分布通过这三点。

可以为第一个点指定坐标(1,0)不失通用性。从以下位置调用中心角度第一个指向第二个和第三个θ_1和θ_2.范围θ_1可以限制为[0，π]因为对称，但是θ_2范围可以从[0,2pi）.然后

A（θ_1，θ_2）=2sin（1/2theta_1）sin（1/2 theta_2）sin[1/2（θ_1-theta_2]，
(1)

所以

A类^_=（int_0^piint_0^（2pi）|A|dtheta_2dtheta_1）/
(2)
=1/（2pi^2）int_0^piint_0^（2pi）|A|dtheta_2dtheta_1。
(3)

因此，

A类^_=2/（2pi^2）int_0^piint_0^（2π）|sin（1/2theta_1）sin（1/2 theta_2）sin[1/2（theta_1-theta_2）]|dtheta_2dtheta_1
(4)
=1/（pi^2）int_0^pisin（1/2theta_1）[int_0^（2pi）sin（1/2 theta_2）|sin[1/2（theta_2-theta_1
(5)
=1/（pi^2）int_0^（pi）int_0（2pi）；θ_2-theta_1>0sin（1/2θ_1）sin（1/2theta_2）sin[1/2（θ_1-theta_2）]dtheta_2dtheta_1+1/（pi^2）int_0^（pi）int_0（2pi）；θ2-theta_1<0sin（1/2θ_1）sin（1/2theta_2）sin[1/2（θ1-theta _2）]dtheta_2dtheta_1
（6）
=1/（pi^2）int_0^pisin（1/2θ_1）[int_（theta_1）^（2pi）sin。
(7)

但是

int（1/2 theta_2）sin[1/2（theta_2-theta_1）]dtheta_2=intsin（1/2 theta2）[sin（1/2theta2
(8)
=cos（1/2theta_1）intsin（1/2 theta_2）dtheta_2-sin（1/2 theta _1）intersin（1/2heta_2）cos（1/2 theata_2）dttheta_2
(9)
=1/2cos（1/2 theta_1）int（1-costheta_2）dtheta_2-1/2sin（1/2 theta _2）in theta_2dtheta_2
(10)
=1/2 cos（1/2 theta_1）（theta_2-sintheta_2）+1/2 sin（1/2 theta _1）cos（theta_2）。
(11)

写入(10)作为

A^_=1/（pi^2）[int_0^pisin（1/2 theta_1）I_1dtheta_1+int_0^ pisin，
(12)

然后

I_1=int_（theta_1）^（2pi）sin（1/2 theta_2）sin[1/2（theta_2-theta_1]]dtheta_2，
(13)

和

I_2=int_0^（θ_1）sin（1/2θ_2）sin[1/2（θ_1-theta_2）]dtheta_2。
(14)

发件人(12),

I_1级=1/2cos（1/2 theta_2）[theta_2-sintheta_2]_（theta_1）^（2pi）+1/2sin（1/2 theta）[costheta_2]（theta）^
(15)
=1/2cos（1/2theta_1）（2pi-theta_1+sintheta_2）+1/2sin（1/2heta_2）（1-肋片_1）
(16)
=皮科斯（1/2theta_1）-1/2theta_1cos（1/2heta_1
(17)
=皮科斯（1/2theta_1）-1/2theta_1cos（1/2heta_1
(18)
=皮科斯（1/2 eta_1）-1/2 eta_1cos（1/2 eta_1）+sin（1/2 eta_1），
(19)

所以

int_0^piI_1sin（1/2 theta_1）dtheta_1=5/4pi。
(20)

也，

I_2级=1/2cos（1/2 theta_1）[sintheta_2-theta_2]_0^
（21）
=1/2cos（1/2 theta_2）（sintheta_1-theta_1）-1/2sin（1/2 theta _1）（costheta_1-1）
(22)
=-1/2 eta_1cos（1/2 eta_1）+1/2[sintheta_1cos（1/2 eta_1）-costheta_1sin（1/2 eta_2）]+1/2 sin（1/2 eta_1）
(23)
=-1/2theta_1cos（1/2 theta_1）+sin（1/2 theta），
(24)

所以

int_0^piI_2sin（1/2 theta_1）dtheta_1=1/4pi。
(25)

组合(◇) 和(◇) 提供了意思是三角形区域作为

A^_=1/（π^2）（（5pi）/4+π/4）=3/（2pi）=0.47746。。。
(26)

（组织环境信息系统A093582号).

最初的几分钟是

mu_1^'=3/（2pi）
(27)
mu_2^'=3/8
(28)
mu_3^’=（35）/（32π）
(29)
mu_4^’=(45)/(128)
(30)
mu_5^'=（3003）/（2560英里）
(31)
mu_6^’=(105)/(256)
（32）

（组织环境信息系统A093583号和A093584号和OEISA093585号和A093586号).

因此，方差由下式给出

σ_A^2=<A>^2-<A^2>=（3（pi^2-6））/（8pi^2）约0.1470。
(33)

三角形内部由随机选取的三个点确定的概率圆周圆形的包含原点是1/4。

另请参见

圆形线条拾取,圆盘三角拾取,线条拾取,球体点拾取

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圆形三角形拾取

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“圆形三角形拾取。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CircleTrianglePicking.html

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