类别

类别由三部分组成：物体，对于每对对象态射（有时调用“箭头”），以及在兼容成对的形态称为合成。类别必须满足身份公理以及一个与幺半群公理类似的结合公理。

这个态射必须遵守以下法律：

1.如果是一个同构从到（简而言之，)、和，然后有一个同构 （通常为“由“）来自到.

2.在定义的情况下，语态的合成是关联的，因此如果,、和，然后.

3.对于每个对象a，都有一个同一态射，对于任何,和.

在集合之上的大多数具体类别中，对象是一些数学结构（例如组,向量空间,或光滑歧管)态射是介于两个对象。这个身份映射在任何对象之间它本身就是同一态射，态射的合成就是功能组成。

通常需要态射以保持对象的数学结构。因此，如果对象都是组，那么同构将是一个组同态.类似地，对于向量空间，可以选择线性映射，对于可微流形，人们会选择可微映射。

在以下类别中拓扑空间，态射通常是拓扑空间之间的连续映射。然而，还有其他类别结构具有拓扑空间作为对象，但它们远不如“标准”类别重要属于拓扑空间和连续的地图.