加泰罗尼亚猜想

比利时数学家尤金·查尔斯·加泰罗尼亚（Eugène Charles Catalan）在1844年提出的猜想是8和9(和)是唯一连续的权力（不包括0和1）。在换句话说，

（1）

是唯一重要的解决方案加泰罗尼亚语丢番图问题

（2）

特殊情况和是一个案例莫德尔曲线.

有趣的是，在加泰罗尼亚人提出他的猜想500多年前，Levi ben Gerson（1288-1344）就已经注意到，2和3的唯一幂相差1和（彼得森，2000年）。

150多年来，尽管海耶尔和马考斯基证明了这一点，但这一猜想还是遭到了所有人的质疑三连续的权力存在（Ribenboim 1996），而且众所周知，8和9是唯一连续的立方体的和平方数（按任意顺序）。最后，在2002年4月18日，米哈伊列斯库发送了一份手稿向数学家证明了整个猜想（van der Poorten，2002）。这个证据现在已经印刷出来（Mihéilescu 2004），并被广泛接受为正确有效（Daems 2003，Metsänkylä2003）。

蒂德曼（1976）表明，只有有限的，有限的异常数应为猜想不保持。最近的进展表明，这个问题在有限的，有限的（但超过天文数字）步数，尤其是如果和是权力，然后（盖伊1994年，第155页）。1999年，M.Mignotte表明如果存在非平凡解，那么,（彼得森，2000年）。

众所周知，如果存在方程的其他解，任何一个指数必须是双Wieferich素数对,或 和必须满足类号可除条件（Steiner 1998）。对的约束从英克里（Inkeri，1964）开始，这个等级条件不断得到改善并继续完成施泰纳（1998）的工作。然后，在1999年春天，布吉奥德Hanrot证明了最弱可能类数条件无条件成立（即，无论是否和是一个双重威弗里奇素数对或否）。随后，在2000年秋季，Mihailescu证明了双Wieferich素数对条件也必须无条件持有（Peterson 2000）。

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