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凯西定理


四个圈子 c1二氧化碳碳三、和碳四切线到五分之一圆圈或直发线 若(iff)

 T_(12)T_(34)+/-T_(13)T_。
(1)

哪里T_(ij)是一个公共的长度切线圈子 我j个(约翰逊1929年,第121-122页)。以下情况如下可能:

1.如果所有吨是直接公共切线,那么碳五与所有圈子都有相似的接触,

2.如果吨从一个圆开始是横向的,而其他三个是直接的,那么这一个圆与有联系碳五与其他三种不同,

3.如果给定的圆可以成对,使得每对圆的公共切线是直的,而其他四个圆是横的,那么每对都有相似的接触碳五

(约翰逊1929年,第125页)。

案例Theorem

上述Casey定理的特例在Sangaku问题1874年在Gumma县。在这种形式下,画一个圆在一个正方形内,然后围绕它画四个圆,每个圆都是相切的到广场两侧。对于边长为正方形的一左下角位于(0,0)包含半径的中心圆第页带中心(x,y),可以找到四个圆的半径和位置通过求解

 (1-r4-x)^2+(y-r4)^2=(r+r4)
(2)
 (1-r1-x)^2+(1-r-1-y)^2=(r+r1)^2
(3)
 (x-r3)^2+(y-r3)
(4)
 (x-r2)^2+(1-r2-y)^2=(r+r2)。
(5)

四个T_(ij)因为该定理直接针对该图形给出,如下所示

T_(12)=a-r1-r2
(6)
T_(34)=a-r3-r4
(7)
T_(14)=a-r1-r4
(8)
T_(23)=a-r2-r3。
(9)

剩下的T_(13)T_(24)如上图所示c(ij)是距离输入(_i)_(_j),然后

c(13)^2=(a-r1-r3)^2+(a-r1-3)^2
(10)
=2(a-r_1-r_3)^2
(11)
c(24)^2=(a-r2-r4)^2+(a-r2-r4)
(12)
=2(a-r2-r4)^2,
(13)

所以

T_(13)=平方码(c(13)^2-(r3-r1)^2)
(14)
=平方码(2(a-r1-r3)^2-(r3-r1)^2)
(15)
T_(24)=平方英尺(c(24)^2-(r_2-r_4)^2)
(16)
=平方码(2(a-r2-r4)^2-(r2-r_4)^2)。
(17)

因为这四个圆都与碳五,要使用的Casey定理的相关形式有符号(+,-),所以我们有了这个方程

 (a-r1-r2)(a-r3-r4)+(a-r1-r4)(a-r 2-r3)-平方根([2(a-r1-r3)^2-(r3-r1)^2][2(a-r2-r4)^2-
(18)

(罗斯曼,1998年)。解决一然后给出关系

 a=(2(r1r3-r2r4)+平方根
(19)

Durell(1928)调用以下Casey定理:如果t吨是两个半径圆的公共切线的长度一bt^’是它们的逆函数对应的公共切线的长度任何时候,以及“^”b^'是它们倒数的半径,那么

 (t^2)/(ab)=(t^('2))/(a^'b^')。
(20)

另请参见

帕塞尔定理切线圈子

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

J.凯西。《欧几里得原理》前六本书的续集,包含简单介绍《现代几何与无数实例》,第5版,修订版。都柏林:Hodges,菲吉斯公司,第103页,1888年。J.凯西。A类关于点、线、圆和圆锥截面的解析几何的论述,包含其最新扩展的说明,有许多例子,第二编辑,修订版。都柏林:Hodges,Figgis,&Co.,第125页,1893年。柯立芝,J·L·。A类关于圆和球的几何学的论述。纽约:切尔西,第37页,1971C.V.杜雷尔。现代几何学:直线和圆。伦敦:麦克米伦出版社,第117页,1928年。福川,H.和Pedoe,D.“许多圆和方形(凯西定理)”§3.3在里面日本人寺庙几何问题。加拿大马尼托巴省温尼伯市:查尔斯·巴贝奇研究所《基金会》,第41-42页和第120-1989页。R.A.约翰逊。现代几何学:关于三角形和圆的几何学的初级论文。马萨诸塞州波士顿:霍顿·米夫林,第121-127页,1929年。拉克兰,R。现代纯几何基础论文。伦敦:麦克米利安出版社,第244-251页,1893《日本寺庙几何》科学。阿默尔。 27885-911998年5月。

参考Wolfram | Alpha

凯西定理

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“凯西定理。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CaseysTheorem.html

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