话题
搜索

卡尔森椭圆积分


卡尔森椭圆积分,也称为卡尔森对称形式,是一组标准的正则积分椭圆积分它为第一类Legendre椭圆积分提供了一种方便的替代方法,第二类和第三类。Carlson和Legendre椭圆积分可以转换彼此之间。

卡尔森椭圆积分定义为

R_C(x,y)=R_F(x,y,y)
(1)
=1/2int_0^infty(dt)/((t+y)平方(t+x))
(2)
R_D(x,y,z)=R_J(x,y,z,z)
(3)
=3/2int_0^infty(dt)/(平方(t+x)平方(t+y)(t+z)^(3/2))
(4)
R_E(x,y)=1/piint_0^infty(x/(t+x)+y/(t+y))(平方(t)dt)/(平方(t+x)平方(t+y))
(5)
R_F(x,y,z)=1/2int_0^infty(dt)/(平方(t+x)平方(t+y)平方(t+z))
(6)
R_G(x,y,z)=1/4int_0^infty((xt)/(t+x)+(yt)/(t+y)+(zt)/(t+z))(dt)/
(7)
R_J(x,y,z,p)=3/2int_0^infty(dt)/((t+p)sqrt(t+x)sqert(t+y)sqrt(t+z))
(8)
R_K(x,y)=1/piint_0^infty(dt)/(平方(t)平方(t+x)平方(t+y))
(9)
R_M(x,y,p)=2/piint_0^infty(dt)/((t+p)sqrt(t+x)sqrt(t+y))。
(10)

它们在Wolfram语言作为卡尔森RC[x个,],卡尔森RD[x个,,z(z)],卡尔森[x个,],卡尔森RF[x个,,z(z)],卡尔森RG[x个,,z(z)],卡尔森RJ[x个,,z(z),ρ],卡尔森RK[x个,]、和卡尔森RM[x个,,ρ].

对于0≤φ≤2pi0<=k^2英寸^2磅<=1,第一类、第二类和第三类不完全椭圆积分是相关的Carlson椭圆积分

F(φ,k)=sinphiR_F(cos^2phi,1-k^2sin^2phi,1)
(11)
E(φ,k)=sinphiR_F(cos^2phi,1-k^2sin^2phi,1)-1/3k^2ins^3phiR_D
(12)
Pi(φ,n,k)=sinphiR_F(cos^2phi,1-k^2sin^2phi,1)+1/3nsin^3phiR_J。
(13)

用不完全Carlson积分表示完全Legendre-Jacobi积分φ=pi/2到上面给出的

K(K)=R_F(0,1-k^2,1)
(14)
E(k)=R_F(0.1-k^2,1)-1/3k^2R_D(0,1-k^2.1)
(15)
Pi(n,k)=R_F(0,1-k^2,1)+1/3nR_J(0,1-k^2,1,1-n)
(16)

(Press and Teukolsky 1990)和

K(K)=1/2像素_K(1,1-K^2)
(17)
E(k)=1/2像素_E(1,1-k^2)
(18)
Pi(n,k)=1/2像素R_K(1,1-K^2)+1/4像素R_M(1,1-K ^2,1-n)。
(19)

函数还满足以下同质性属性:

R_F(kappax、kappay、kappaz)=kappa^(-1/2)R_F(x,y,z)
(20)
R_J(kappax,kappay,kappaz,katpap)=kappa^(-3/2)R_J(x,y,z,p)
(21)

(Press和Teukolsky 1990)。

特殊值包括

R_D(0,2,1)=(3pi)/升
(22)
R_F(0,1,2)=升/2
(23)
R_K(1,2)=L/pi,
(24)

哪里L(左)柠檬酸常数.


另请参见

椭圆积分

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

不列颠哥伦比亚省卡尔森。应用数学的特殊功能。纽约:学术出版社,1977年。卡尔森,公元前。“第一类椭圆积分。”SIAM J.数学。分析。 8,231-242, 1977.不列颠哥伦比亚省卡尔森。“椭圆积分表第二类。"数学。计算。 49, 595-606, 1987.卡尔森,公元前。“第三类椭圆积分表”数学。计算。 51, 267-280, 1988.不列颠哥伦比亚省卡尔森。“数字实或复椭圆积分的计算。"数字。算法 10,13-26, 1995.不列颠哥伦比亚省卡尔森。《椭圆积分》第19章数学函数数字图书馆。2020-12-15.https://dlmf.nist.gov/19.按,W.H.公司。和Teukolsky,S.A。“椭圆积分。”计算机物理学 4, 92-98, 1990.

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“卡尔森椭圆积分。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CarlsonEllipticIntegrals.html

主题分类