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卡尔森椭圆积分

卡尔森椭圆积分，也称为卡尔森对称形式，是一组标准的正则积分椭圆积分它为第一类Legendre椭圆积分提供了一种方便的替代方法，第二类和第三类。Carlson和Legendre椭圆积分可以转换彼此之间。

卡尔森椭圆积分定义为

R_C（x，y）=R_F（x，y，y）
(1)
=1/2int_0^infty（dt）/（（t+y）平方（t+x））
(2)
R_D（x，y，z）=R_J（x，y，z，z）
(3)
=3/2int_0^infty（dt）/（平方（t+x）平方（t+y）（t+z）^（3/2））
(4)
R_E（x，y）=1/piint_0^infty（x/（t+x）+y/（t+y））（sqrt（t）dt）/（sqrt（t+x）sqrt（t+y））
(5)
R_F（x，y，z）=1/2int_0^infty（dt）/（平方（t+x）平方（t+y）平方（t+z））
(6)
R_G（x，y，z）=1/4int_0^infty（（xt）/（t+x）+（yt）/（t+y）+（zt）/（t+z））（dt）/
(7)
R_J（x，y，z，p）=3/2int_0^infty（dt）/（（t+p）sqrt（t+x）sqert（t+y）sqrt（t+z））
(8)
R_K（x，y）=1/piint_0^infty（dt）/（平方（t）平方（t+x）平方（t+y））
(9)
R_M（x，y，p）=2/piint_0^infty（dt）/（（t+p）sqrt（t+x）sqrt（t+y））。
(10)

它们在Wolfram语言作为卡尔森RC[x个,年],卡尔森RD[x个,年,z（z）],卡尔森[x个,年],卡尔森RF[x个,年,z（z）],卡尔森RG[x个,年,z（z）],卡尔森RJ[x个,年,z（z）,ρ],卡尔森RK[x个,年]、和卡尔森RM[x个,年,ρ].

对于0≤φ≤2pi和0<=k^2英寸^2磅<=1,第一类、第二类和第三类不完全椭圆积分是相关的Carlson椭圆积分

F（φ，k）=sinphiR_F（cos^2phi，1-k^2sin^2phi，1）
(11)
E（φ，k）=sinphiR_F（cos^2phi，1-k^2sin^2phi，1）-1/3k^2ins^3phiR_D
(12)
Pi（φ，n，k）=sinphiR_F（cos^2phi，1-k^2sin^2phi，1）+1/3nsin^3phiR_J。
(13)

用不完全Carlson积分表示完全Legendre-Jacobi积分φ=pi/2到上面给出的

K（K）=R_F（0,1-k^2,1）
(14)
E（k）=R_F（0.1-k^2,1）-1/3k^2R_D（0,1-k^2.1）
(15)
Pi（n，k）=R_F（0,1-k^2,1）+1/3nR_J（0,1-k^2,1,1-n）
(16)

（Press和Teukolsky 1990）和

K（K）=1/2像素_K（1,1-K^2）
(17)
E（k）=1/2像素_E（1,1-k^2）
(18)
Pi（n，k）=1/2像素R_K（1,1-K^2）+1/4像素R_M（1,1-K ^2,1-n）。
(19)

函数还满足以下同质性属性：

R_F（kappax、kappay、kappaz）=kappa^（-1/2）R_F（x，y，z）
(20)
R_J（kappax，kappay，kappaz，katpap）=kappa^（-3/2）R_J（x，y，z，p）
(21)

（Press和Teukolsky，1990年）。

特殊值包括

R_D（0,2,1）=（3pi）/升
(22)
R_F（0,1,2）=升/2
(23)
R_K（1,2）=L/pi，
(24)

哪里L（左）是柠檬酸常数.

另请参见

椭圆积分

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

不列颠哥伦比亚省卡尔森。应用数学的特殊功能。纽约：学术出版社，1977年。卡尔森，公元前。“第一类椭圆积分。”SIAM J.数学。分析。 8,231-242, 1977.不列颠哥伦比亚省卡尔森。“椭圆积分表第二类。"数学。计算。 49, 595-606, 1987.卡尔森，公元前。“第三类椭圆积分表”数学。计算。 51, 267-280, 1988.不列颠哥伦比亚省卡尔森。“数字实或复椭圆积分的计算。"数字。算法 10,13-26, 1995.不列颠哥伦比亚省卡尔森。《椭圆积分》第19章数学函数数字图书馆。 2020-12-15.https://dlmf.nist.gov/19.按，W.H.公司。和Teukolsky，S.A。“椭圆积分。”计算机物理学专业 4, 92-98, 1990.

参考Wolfram | Alpha

卡尔森椭圆积分

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“卡尔森椭圆积分。”发件人数学世界--Wolfram资源。https://mathworld.wolfram.com/CarlsonEllipticIntegrals.html

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