本福德定律

现象学定律也称为第一数字定律、第一数字现象或前导数字现象。本福德定律指出，在列表、统计表中，等等数字1往往与可能性 ，远远超出预期11.1%（即9位数中的一位数）。例如，可以通过以下方式遵守本福德定律检查的表格对数并注意到前几页比后几页磨损和弄脏得多（纽科姆1881）。While期间本福德定律无疑适用于现实世界中的许多情况，令人满意希尔（1998年）的工作最近才给出了解释。

本福德定律被角色查理·埃普斯用作类比，以帮助解决第二季中的一系列严重入室盗窃案”这个奔跑吧兄弟！“犯罪电视剧第集（2006）”编号3RS.

本福德定律适用于不无量纲，因此数据的数值取决于单位。如果存在普遍概率分布超过这些数字，那么它一定是在尺度变化下保持不变，所以

(1)

如果，然后，而规范化意味着.区别于和设置给予

(2)

有解决方案.虽然这不是一个适当的概率分布（因为它发散了）物理定律和人类习惯强加了截断。例如，随机选择街道地址符合本福德定律。

如果10的许多次幂位于截止值之间，则第一个（十进制）数字的概率为由对数分布给出

(3)

对于, ..., 9，如上所示并制成表格如下所示。

1	0.30103	6	0.0669468
2	0.176091	7	0.0579919
三	0.124939	8	0.0511525
4	0.09691	9	0.0457575
5	0.0791812

然而，本福德定律不仅适用于标度变量数据，也适用于从各种不同来源中选择的数字。解释这个事实需要更多对……的严格调查中心极限-像定理尾数随机变量的乘法。随着变量数量的增加，密度函数接近上述对数分布的密度函数。希尔（1998）严格证明了“分配的分配”事实上，由从各种不同分布中随机抽取的样本得出，本福德定律（马修斯）。

Plouffe的“逆符号计算器”数据库中的5400万个实数常数是Benford定律的一个突出例子，其中30%以这个数字1.从几个不同的源获取数据，下表显示了Benford（1938）编译的第一位数字的分布在他的原始论文中。

列。	标题	1	2	三	4	5	6	7	8	9	样品
A类	河流，区域	31	16.4	10.7	11.3	7.2	8.6	5.5	4.2	5.1	335
B类	人口	33.9	20.4	14.2	8.1	7.2	6.2	4.1	3.7	2.2	3259
C类	常量	41.3	14.4	4.8	8.6	10.6	5.8	1	2.9	10.6	104
D类	报纸	30	18	12	10	8	6	6	5	5	100
E类	比热	24	18.4	16.2	14.6	10.6	4.1	3.2	4.8	4.1	1389
F类	压力	29.6	18.3	12.8	9.8	8.3	6.4	5.7	4.4	4.7	703
G公司	H.P.丢失	30	18.4	11.9	10.8	8.1	7	5.1	5.1	3.6	690
H（H）	摩尔重量。	26.7	25.2	15.4	10.8	6.7	5.1	4.1	2.8	3.2	1800
我	排水	27.1	23.9	13.8	12.6	8.2	5	5	2.5	1.9	159
J型	原子重量。	47.2	18.7	5.5	4.4	6.6	4.4	3.3	4.4	5.5	91
K（K）	,	25.7	20.3	9.7	6.8	6.6	6.8	7.2	8	8.9	5000
我	设计	26.8	14.8	14.3	7.5	8.3	8.4	7	7.3	5.6	560
M（M）	读者的摘要	33.4	18.5	12.4	7.5	7.1	6.5	5.5	4.9	4.2	308
N个	成本数据	32.4	18.8	10.1	10.1	9.8	5.5	4.7	5.5	3.1	741
O（运行）	X射线电压	27.9	17.5	14.4	9	8.1	7.4	5.1	5.8	4.8	707
P（P）	美国联赛	32.7	17.6	12.6	9.8	7.4	6.4	4.9	5.6	3	1458
问	黑体	31	17.3	14.1	8.7	6.6	7	5.2	4.7	5.4	1165
对	地址	28.9	19.2	12.6	8.8	8.5	6.4	5.6	5	5	342
S公司	,	25.3	16	12	10	8.5	8.8	6.8	7.1	5.5	900
T型	死亡率	27	18.6	15.7	9.4	6.7	6.5	7.2	4.8	4.1	418
	平均	30.6	18.5	12.4	9.4	8	6.4	5.1	4.9	4.7	1011
	可能的错误

下表使用多种不同的方法给出了遵循本福德定律的尾数第一位数的分布。