中的身份变分法贝尔特拉米于1868年发现。这个拉格朗日微分方程是
 |
（1）
|
现在，检查导数属于
关于
 |
(2)
|
解决
条款给予
 |
(3)
|
现在，乘法(1)由
给予
 |
(4)
|
替换(三)到(4)然后给出
 |
（5）
|
 |
(6)
|
如果
，因为在这种情况下
 |
(7)
|
它立即给出
 |
(8)
|
哪里
是一个积分常数（Weinstock 1974，第24-25页；Arfken 1985，第928-929页；福克斯1988年，第8-9页）。
Beltrami恒等式大大简化了最小地区 回转面关于给定轴两个指定点。它还允许直接解决臂色酮问题.
