分析延续

分析延续（有时简称为“延续”）提供了一种扩展领域其中一个复杂的功能定义。最常见的应用程序是分析的功能在点附近确定由幂级数

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这种幂级数展开通常仅在其收敛半径然而，在幸运的情况下（非常幸运也很常见！），函数将有一个幂级数膨胀在大于预期的范围内有效半径收敛的，还有这个幂级数可以是用于定义原始函数之外的函数领域定义。例如，这允许定义的自然扩展三角函数、指数函数、对数函数、幂函数和双曲函数实线 对整个复平面 类似地，解析延拓可以用于将分析函数的值扩展到分支切在中复平面.

让和是解析函数在域 和，并假设交叉点不为空还有那个在.然后被称为到反之亦然（弗拉尼根1983年，第234页）。此外，如果存在到是独一无二的。

解析延拓的这种独特性是一种相当惊人且极为有力的表述。它实际上表示，知道复杂的功能在某些有限复域中唯一地确定函数的值在每一个另一点。

通过解析延拓，从函数的任意表示开始幂级数，任意数量的其他权力系列可以找到它们共同定义了函数在所有点的值的领域此外，可以从以下位置到达任何点未通过的点奇异性属于函数和由此获得的所有幂级数的总和构成函数的解析表达式（Whittaker和Watson，1990年，第97页）。

解析延拓可以导致一些有趣的现象，例如多值函数例如，考虑广场根功能。虽然此函数没有全局定义（由于每个非零值都有两个平方根），定义明确泰勒级数围绕,

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可用于扩展域定义。请注意，当，的幂级数对于有一个收敛半径第页，共页。

上面的动画显示了沿着这条路。请注意，当函数到处运行时，是原始函数的负值，因此循环两次返回函数恢复到原始值。

在动画中，域空间（粉红色；左图）映射到形象空格（蓝色；右图）广场根函数，淡蓝色区域表示负平方根。然而，通过围绕圆继续函数，平方根函数需要过去是浅蓝色区域的值，因此蓝色和浅色的作用蓝色区域反转。

这可以解释为来自多值的 平方根功能。这说明了解析延拓使用提供关于幂级数的信息。

函数可能永远不会返回相同的值。例如，增加了每次它在零附近继续。这个自然的领域函数的最大域链，函数可以在其上继续分析到单值的功能。对于，它是连通无限盖的穿孔平面、和用于是相连的双人间盖.如果存在无法扩展函数的边界，则调用这个自然边界例如，存在一亚纯函数 在单位圆盘中，单位圆上的每个点都是极限点的集合极点.那么这个圆圈就是自然边界对于.