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Airy函数


Airy函数有四种类型:Ai(z)(艾(z))铋(z)Gi(z)、和你好(z)其中,Ai(z)铋(z)是目前为止最常见的Gi(z)你好(z)遭遇的次数要少得多。艾里函数常见于物理学,尤其是光学、量子力学、电磁学、,和辐射传输。

Ai(z)(艾(z))铋(z)整个功能.

哈代构造了艾里函数的推广。

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Airy函数Ai(x)(艾(x))铋(x)函数在上面沿着实轴.

这个Ai(z)(艾(z))铋(z)函数定义为线性无关解决方案

 y^('')-yz=0。
(1)

(阿布拉莫维茨和斯特根1972年,第446-447页;如上图所示)

 y(z)=AAi(z)+BBi(z,
(2)

哪里

Ai(z)(艾(z))=1/(3^(2/3)伽马(2/3
(3)
铋(z)=1/(3^(1/6)伽马(2/3))_0F_1(;2/3;1/9z^3)+,
(4)

哪里_0F_1(;a;z)是一个合流超几何极限函数。这些功能在沃尔夫拉姆语言作为AiryAi公司[z]AiryBi公司[z].它们的派生实现为AiryAiPrime航空公司[z]AiryBiPrime公司[z].

对于特殊情况x> 0个函数可以写为

Ai(x)(艾(x))=1/3平方(x)[I_(-1/3)(2/3x^(3/2))-I_(1/3)(2/3 x ^(2/2))]
(5)
=1/活塞(x/3)K_(1/3)(2/3x^(3/2))
(6)
铋(x)=平方(x/3)[I_(-1/3)(2/3x^(3/2)))+I_(1/3),
(7)

哪里I(x)是一个修正贝塞尔函数第一类K(x)是一个被改进的第二类贝塞尔函数.

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的绘图Ai(z)(艾(z))在中复平面如上图所示。

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类似地铋(z)出现在上面。

艾利酒店Ai(z)(艾(z))函数由积分给出

 Ai(z)=1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(i(zt+t^3/3))dt
(8)

系列

Ai(z)(艾(z))=1/(3^(2/3)π)和_(n=0)^(infty)(伽马(1/3(n+1)))/(n!)
(9)
铋(z)=1/(3^(1/6)π)和_(n=0)^(infty)(伽马(1/3(n+1)))/(n!)|
(10)

(班德利尔等人。2000).

对于z=0

艾(0)=1/(3^(2/3)伽马(2/3
(11)
铋(0)=1/(3^(1/6)伽马(2/3)),
(12)

哪里伽马(z)伽马函数同样,

艾^'(0)=-1/(3^(1/3)伽马(1/3))
(13)
双^'(0)=(3^(1/6))/(伽马(1/3))。
(14)

这个渐近级数属于Ai(z)(艾(z))有不同的形式象限复平面,这一事实被称为斯托克斯现象.

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与Airy函数相关的函数定义为

Gi(z)=1/piint_0^inftysin(1/3t^3+zt)dt
(15)
=1/3Bi(z)+int_0^z[艾(z)比(t)-艾(t)比(z)]dt
(16)
=1/3Bi(z)-(z^2_1F_2(1;4/3,5/3;1/9z^3))/(2pi)
(17)
你好(z)=1/piint_0^inftyexp(-1/3t^3+zt)dt
(18)
=2/3Bi(z)+int_0^z[艾(t)比(z)-艾(z)比(t)]dt
(19)
=2/3Bi(z)+(_1F_2(1;4/3,5/3;1/9z^3)z^2)/(2pi),
(20)

哪里_页码(_q)是一个广义超几何功能.

Watson(1966年,第188-190页)给出了Airy函数的一个稍微更一般的定义,作为艾里差速器方程式

 Phi^(“”)+/-k^2位=0
(21)

哪个是有限的,有限的起源,其中菲律宾^'表示导数 dPhi/dzk^2=1/3,或者签名是允许的。调用这些解决方案(1/pi)Phi(+/-k^2,z)然后

 1/piPhi(+/-1/3;z)=int_0^inftycos(t^3+/-zt)dt
(22)
功率因数(1/3;z)=1/3活塞(z/3)[J_(-1/3)((2z^(3/2))/(3^(2/2)))+J_(1/3)
(23)
功率因数(-1/3;z)=1/3活塞(z/3)[I_(-1/3)((2z^(3/2))/(3^(2/2)))-I_(1/3),
(24)

哪里J(z)是一个第一类贝塞尔函数.使用身份

 K_n(z)=π/2(I_(-n)(z)-I_n(z))/(sin(npi)),
(25)

哪里K(z)是一个修正贝塞尔函数第二种,第二种情况可以重新表述

功率因数(-1/3;z)=1/3pisqrt(z/3)2/pisin(1/3pi)K_(1/3)(2z^(3/2))/(3^(2/2))
(26)
=pi/3sqrt(z/3)2/pi(sqrt)/2K_(1/3)(2z^(3/2))
(27)
=1/3平方(z)K_(1/3)((2z^(3/2))/(3^(2/2)))。
(28)

另请参见

Airy-Fock函数Airy函数零Airy Zeta函数贝塞尔第一类功能航空分布图修正的贝塞尔函数第一类被改进的第二类贝塞尔函数

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryAi公司/http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryAiPrime公司/http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryBi/http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryBiPrime公司/

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。(编辑)。《Airy功能》第10.4节手册《数学函数与公式、图形和数学表》,第9次印刷。纽约:多佛,第446-452页,1972年。班德利尔,C。;弗拉乔莱特,P。;谢弗,G。;平面地图和艾里现象〉,收录于自动化,语言和编程。第27届国际学术讨论会(ICALP)会议记录2000年7月9日至15日在日内瓦大学举行(编辑:U.Montanari,J·D·。第页。Rolim和E.Welzl)。柏林:施普林格出版社,第388-402页,2000出版社,W.H。;弗兰纳里,B.P。;Teukolsky,S.A。;和韦特林。“分数阶贝塞尔函数,艾里函数,球面贝塞尔函数。“§6.7英寸数字的FORTRAN:科学计算的艺术,第二版。英国剑桥:剑桥大学出版社,第234-245页,1992年。新泽西州斯隆。A。序列A096714号A096715号在“整数序列在线百科全书”中扳手,J.和Oldham,K.B。“艾里函数Ai(x个)和Bi(x个).“Ch.56英寸功能地图集。华盛顿特区:《半球》,第555-5621987页。沃森,G.编号。一个贝塞尔函数理论论著,第二版。英国剑桥:剑桥大学出版社,1966年。

参考Wolfram | Alpha

Airy函数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Airy函数。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/AiryFunctions.html

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