x^x^采取的不同值的数量^以各种可能的方式插入括号的x

Question

对于什么是正x，x^x^所取的不同值的数目^以所有可能的方式插入括号的x不由序列表示A000081号？~~它就是一组正代数数吗？~~它是正代数数的超集吗？它是可数的吗？$2^{\sqrt 2}$或$\log_2 3$在集合中吗？

顺便说一句，如果在$x=3$的情况下没有得到通用数字，我会非常惊讶。我错过了什么吗？ — 托德·特里布尔, 2011年10月29日2:34
案例$x=3$给出oeis.org/A003018不同于oeis.org/A000081从第七学期开始。 — 弗拉基米尔·雷谢特尼科夫, 2011年10月29日2:53
哇，真令人惊讶！你能告诉我在$x=3$的情况下，哪两个括号是重合的吗？ — 托德·特里布尔, 2011年10月29日3:07
3^(3^(3^3) * 3 * 3 * 3) = 3^(3^(3 * 3 * 3) * 3^3). [我使用指数中的乘积编写了这些，当然可以将其重写为各种等效顺序的迭代指数] — 斯里达尔·拉梅什, 2011年10月29日5:50
当然，任何自然数都会出现同样的现象：b^（b^。因此，每个自然数b都不能通用于x^x^x的括号……带有4+b个x的多个副本 — 斯里达尔·拉梅什, 2011年10月29日5:51

托德·特林布尔 · Accepted Answer · 2011年10月29日03:01:37Z

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第二个问题的答案是“不”。考虑方程$x^x=3$的唯一解$x>0$。根据Gelfond-Schneider定理，这个数字是超越的。但我们有

$$（（x^x）^x）*^x=x^{x^3}=x^}（x^{（x*x）}）}$$

这样两个括号就重合了。很明显，这个集合包含超越数。可以类似地生成许多其他解决方案（例如，求解$x^{（x^x）}=4$）。

社区wiki

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$\开始组$ 我发现一个有趣的类似例子是取$x^x=x+1$的唯一正解。然后您可以使用定义方程和常用的指数规则轻松检查$x^{。尽管超验性似乎不再明显。。。 $\端组$
– Dejan Govc公司
2011年11月2日21:30

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1答案1